1、第三章三角函数与解三角形第1讲弧度制与任意角的三角函数课标要求考情分析1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义从近几年的高考试题看，三角函数定义及符号判定是高考的热点.这部分的高考试题大多为教材例题、习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对教材知识的学习1.任意角的概念顺时针角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角是按逆时针方向旋转形成的；负角是按_方向旋转形成的；如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角.2.终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可写成 S|k36
2、0，kZ.3.弧度制(1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.(2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.(3)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.角的弧度数的绝对值|_(其中 l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 是圆的半径).(4)弧度与角度的换算：180 rad；4.弧长公式和扇形面积公式nr23605.任意角的三角函数的定义设是一个任意角，角的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离是 r(r0)，那么6.三角函数值在各象限的符号三角函数线余弦线OM正弦线MP正切线AT7.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位
3、圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正投影.题组一走出误区1.(多选题)下列结论不正确的是()A.小于 90的角是锐角B.将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30解析：根据任意角的概念知 A，B，C，D 均是错误的.答案：ABCD题组二走进教材2.(必修 4P15 第 6 题改编)已知点 P(cos，tan)在第三象限，)则角的终边在(A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限终边在第二象限，故选 B.答案：B3.(必修 4P10B 组第 1 题改编)已知扇形的圆心角为 60，其弧长为 2，则此扇形的面积为_.答案：6题组
4、三真题展现4.(2014 年全国)若 tan 0，则()A.sin 0C.sin 20B.cos 0D.cos 20解析：tan sin cos 0，即 sin cos 0，而 sin 22sin cos 0.故选 C.答案：CA.cos 20C.sin 20B.cos 20D.sin 20限可得 sin 0，则 sin 22sin cos 0，选项 C 错误.故选 D.答案：D5.(2020 年全国)若为第四象限角，则()考点 1 任意角的概念 自主练习1.(多选题)与 94 终边相同的角的表达式中，正确的是()解析：弧度和角度不能出现在同一个表达式中，故选项 A，B 错误；故选 CD.答案
5、：CD2.给出下列四个命题：34 是第二象限角；43 是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角.其中正确命题的个数有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个第三象限角，故正确；40036040，是第四象限角，故正确；31536045，是第一象限角，故正确.答案：C3.(1)写出与1840角终边相同的角的集合 M；(2)把1840的角写成 k360(0360)的形式；(3)若角M，且360，360，求角.解：(1)M|k3601840，kZ.(2)18406360320.(3)由(1)(2)，得 M|k360320，kZ.M，且360360，360k360320360(kZ).k
6、Z，k1 或 k0.故40或320.【题后反思】第 3 题(1)考查了终边相同的角的表示，属于基础题，注意：在同一个表达式中，弧度与角度不能混用；第3 题(3)在0到360范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行.因为任意一个角均可写成 k3601(01360)的形式，所以与角终边相同的角的集合也可写成|k3601，kZ.考点 2 三角函数的概念 师生互动例 1已知角的终边上一点 P(4t，3t)(t0)，求的各三角函数值.解：因为点 P 的坐标是(4t，3t)(t0)，当 t0 时，是第二象限角，r|PO|5t，【题后反思】任意角的三角函数值，只与角的终边位置有关，而与角
7、的终边上点的位置无关.当角的终边上的点的坐标以参数形式给出时，由于参数 t 的符号不确定，故用分类讨论的思想，将 t 分为t0 和t0 两种情况，这是解决本题的关键.【考法全练】1.(2019 年浙江温州模拟)若角 的终边过点 P(2sin 30，2cos 30)，则 sin 的值为()答案：C2.(2020 年广东惠州三模)在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交答案：B考点 3 三角函数的符号 多维探究A.第一象限角C.第一或第三象限角B.第二象限角D.第二或第四象限角答案：C(2)(多选题)在平面直角坐标系 xOy 中，角顶点在原点 O，以正
8、半轴为始边，终边经过点 P(1，m)(m0)，则下列各式的值恒大于 0 的是()A.sin tan B.cos sin C.sin cos D.sin cos 解析：由题意知 sin 0，tan 0；选项 B，cos sin 0；选项 C，sin cos 0；选项 D，sin cos 符号不确定.答案：AB标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一，二，三，四(如图 3-1-1)；确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求.图 3-1-1图 3-1-2画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到 12 个区域；标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一，二，三，四(如图 3-
9、1-2)；确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求.【考法全练】1.下列各式中，计算结果为正数的是()解析：选项 A，tan 1880，sin 2750，tan 188sin 2750；答案：CA.第一或第二或第三象限角B.第一或第三或第四象限角C.第二或第三或第四象限角D.第一或第二或第四象限角答案：A考点 4 弧度制的应用 多维探究例 3(1)如图 3-1-3，一扇形的半径为 r，扇形的周长为 4.当圆心角为多少弧度时，扇形的面积 S 取得最大值？(2)若一扇形面积为 4，则当它的圆心角为何值时，扇形周长 C 最小？图 3-1-3解得 0r0).即当2 rad 时，扇形周长 C
10、最小.【题后反思】(1)自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数.应用扇形(2)扇形的周长为定值，扇形的面积 Sr22r，利用二次基本不等式求最值.【考法全练】已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是()A.1B.4C.1 或 4D.2 或 4解析：设此扇形的半径为 r，弧长为 l，答案：C三角函数线的应用列说法正确的是()A.f(x)的值域是0，1B.f(x)是以为最小正周期的周期函数D.f(x)在0，2)上有 2 个零点解析：如图 3-1-4 所示，单位圆中，当 x 位于 yx 右下方时，sin xcos x；当 x 位于 yx
11、左上方(含边界)时，sin xcos x.假设 x 从 B 出发，经过时，复循环变化.综上所述：f(x)的值域是0，1；f(x)的最小正周期图 3-1-4答案：ACD【高分训练】圆 x2y21 上的四段弧(如图 3-1-5)，点 P 在其中一段弧上，角以 Ox 为始边，OP 为终边，若 tan cos sin，故 A，B 错误；当在第三象限时，显然有 tan 0，cos 0，sin 0，故D 错误.故选 C.D19 所示，图 D19ATtan，OMcos，MPsin.显然选 C.答案：C一条规律：三角函数值在各象限的符号规律概括为一全正、二正弦、三正切、四余弦.两个技巧：(1)在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上(不与原点重合)任一点，如有可能，则取终边与单位圆的交点，|OP|r 一定是正值.(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.三个注意：(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于 90的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角，且区间不相同.(2)角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.如2k30(3)已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况.
