1、第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.2020河南省名校4月模拟如图8-2-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BC=2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为()图8-2-1A.2B.3C.4D.62.2020合肥三检点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,若APD与BCP的面积之比等于2,则点P的轨迹是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分3.2021福建五校第二次联考多选题已知空间中不同直线m,n和不同平面,下列命题中是真命题的是()A.若m,n互为异面直线,m,n,m,n,则B.若m
2、n,m,n,则C.若n,m,则nmD.若,m,nm,则n4.2020潍坊市5月模拟多选题如图8-2-2,平面平面=l,A,C是内不同的两点,B,D是内不同的两点,且A,B,C,D直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列判断正确的是()图8-2-2A.若ABCD,则MNlB.若M,N重合,则AClC.若AB与CD相交,且ACl,则BD可以与l相交D.若AB与CD是异面直线,则MN不可能与l平行5.数学文化题九章算术是我国的一部古代数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图8-2-3),其中四边形ABCD为矩形,EFAB,若AB=3EF,ADE和BCF都是正三角形,且AD=2EF,则
3、异面直线AE与CF所成角的大小为.图8-2-36.2020四川五校联考在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为.7.2021安徽省四校联考在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,P是上底面A1B1C1D1内一点,若AP平面BDEF,则线段AP长度的取值范围是()A.52,2B.324,52C.328,62D.62,28.2020陕西省部分学校摸底检测将正方形ABCD中的ACD沿对角线AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,则异面直线AB与CD所成
4、的角为()A.90B.60C.45D.309.多选题如图8-2-4,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命题正确的是()A.存在P,Q运动到某一位置,使ABPQB.BPQ的面积为定值C.当点P不与点A重合时,直线PB1与AQ是异面直线D.无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ10.2021黑龙江省六校联考如图8-2-5,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别是棱BC,C1D1的中点,点P在平面A1B1C1D1内,点Q在线段A1N上,若PM=5,则PQ长度的最小值为.图8-2-4图8-2-5答 案第二
5、讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.B解法一取B1C1的中点D1,连接A1D1,D1C.易证A1D1AD,故A1D1,A1C所成的角就是AD,A1C所成的角.AB=AC=2,BC=2,D为BC的中点,ADBC,AD=AB2-BD2=(2)2-12=1,A1D1=AD=1,又A1C=AA12+AC2=(2)2+(2)2=2,D1C=D1C12+C1C2=12+(2)2=3,A1D12+D1C2=A1C2,A1D1C为直角三角形,cosD1A1C=12,即异面直线AD与A1C所成的角为3,故选B.解法二易知AB,AC,AA1两两垂直,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z
6、轴建立如图D 8-2-10所示的空间直角坐标系,则图D 8-2-10A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(22,22,0),AD=(22,22,0),A1C=(0,2,-2),cos=ADA1C|AD|A1C|=12,即异面直线AD与A1C所成的角为3.故选B. 2.A解法一因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AD平面DCC1D1,BC平面DCC1D1,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以ADDP,BCCP,则SADPSBCP=PDPC=2,以D为原点,分别以DC,DD1为x,y轴建立平面直角坐标系,设P(
7、x,y),正方体的棱长为1,则D(0,0),C(1,0),PDPC=2,即x2+y2(x-1)2+y2=2,化简整理得x2+y2-83x+43=0,因为点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以点P的轨迹是圆x2+y2-83x+43=0在侧面DCC1D1内的部分,故选A.解法二因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AD平面DCC1D1,BC平面DCC1D1,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以ADDP,BCCP,则SADPSBCP=PDPC=2,所以P点的轨迹为圆,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC
8、1D1内的一个动点,所以点P的轨迹是圆在侧面DCC1D1内的部分,故选A.3.AC对于A,假设平面,不平行,=l,因为m,m,n,n,所以ml,nl,所以mn,与m,n互为异面直线矛盾,所以假设不成立,即成立,故A正确;对于B,mn,m,n,则,或与相交或与平行,故B错误;对于C,m,则存在直线l,且ml,因为n,l,所以nl,则nm,故C正确;对于D,m,nm,则n,也可能n,故D错误.故选AC.4.BDA项,连接AC,BD,由已知ABCD,所以四边形ABDC是一个平面四边形,如图D 8-2-11,当ABCD时,四边形ABDC是梯形,因为M,N分别是AB,CD的中点,所以AC,MN,BD的延
9、长线相交于同一个点,设为O.因为OAC,AC.所以O.因为OBD,BD.所以O.由已知=l,所以Ol,即MN与直线l相交于点O,故MN与直线l不平行,A项不正确.B项,连接AC,BD,若M,N重合,即ABCD=M,则四边形ADBC为平面四边形,因为AB,CD互相平分,所以四边形ADBC为平行四边形,所以ACBD,又AC,BD,所以AC,又AC,=l,所以ACl,故B项正确.C项,设ABCD=P,连接AC,BD,则四边形ADBC为平面四边形,又ACl,AC平面ADBC,l平面ADBC,所以l平面ADBC,又l,平面ADBC=BD,所以BDl,故C项不正确.D项,如图D 8-2-12,连接AC,B
10、D,BC,取BC的中点为E,连接ME,NE,则MEAC,因为AC,ME,所以ME,假设MNl,因为l,MN,所以MN,又MNME=M,所以平面MNE,同理得平面MNE,所以,与=l矛盾,所以假设错误,即直线MN与直线l不可能平行,故D项正确.故选BD. 图D 8-2-11 图D 8-2-125.2如图D 8-2-13,在平面ABFE中,过F作FGAE交AB于G,连接CG,则CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角.设EF=1,则AB=3,AD=2.因为EFAB,AEFG,所以四边形AEFG为平行四边形,所以FG=AE=AD=2,AG=1,BG=2,又ABBC,所以GC=BG2+BC2=22,
11、又CF=BC=2,所以CG2=GF2+CF2,所以CFG=2,即异面直线AE与CF所成角的大小为2.图D 8-2-136.613+32如图D 8-2-14,延长EF,A1B1,相交于点M,连接AM,交BB1于点H,延长FE,A1D1,相交于点N,连接AN,交DD1于点G,连接FH,EG,可得截面为五边形AHFEG.因为ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,易得EF=32,AG=AH=213,EG=FH=13,截面的周长为AH+HF+EF+EG+AG=613+32.图D 8-2-147.B如图D 8-2-15所示,分别取棱A1B1,A1D1的中点
12、M,N,连接MN,B1D1,M,N,E,F均为所在棱的中点,MNB1D1,EFB1D1,MNEF,又MN平面BDEF,EF平面BDEF,MN平面BDEF.连接NF,AN,AM,则NFA1B1,NF=A1B1,又A1B1AB,A1B1=AB,NFAB,NF=AB,四边形ANFB为平行四边形,则ANFB,而AN平面BDEF,FB平面BDEF,AN平面BDEF.又ANNM=N,平面AMN平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1内一点,且AP平面BDEF,点P在线段MN上.在RtAA1M中,AM=AA12+A1M2=1+14=52,同理,在RtAA1N中,得AN=52,则AMN为等腰三角形.当P在M
13、N的中点时,AP最小,为(52)2-(24)2=324,当P与M或N重合时,AP最大,为52.线段AP长度的取值范围是324,52.故选B.图D 8-2-158.B如图D 8-2-16,连接BD,取AC,BD,AD的中点分别为O,M,N,连接ON,OM,MN,则由三角形的中位线定理知ON=12CD,MN=12AB,所以所求的角为ONM或其补角.连接BO,OD,因为AB=BC,所以BOAC.因为平面ABC平面ACD,且平面ABC平面ACD=AC,BO平面ABC,所以BO平面ACD,所以BOOD.设原正方形ABCD的边长为2,则BO=OD=2,所以BD=2,所以OM=12BD=1,所以ON=MN=
14、OM=1,所以OMN是等边三角形,所以ONM=60,即异面直线AB与CD所成的角为60,故选B.图D 8-2-169.ACD对于选项A,当P,Q分别是线段AD1和B1C的中点时,ABPQ,故A正确;对于选项B,P在A处时,BPQ的面积为12,P在AD1的中点时,BPQ的面积为24,故BPQ的面积不是定值,故B错误;对于选项C,当点P不与点A重合时,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与题意矛盾,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于选项D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ,故D正确.故选ACD.10.355-1如
15、图D 8-2-17,取B1C1的中点O,连接OM,OP,则MO平面A1B1C1D1,所以MOOP.因为PM=5,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,N是D1C1的中点,所以A1N=5,OP=1,所以点P在以O为圆心,1为半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上,单独画出平面A1B1C1D1及相关点、线,如图D 8-2-18,所以点O到A1N的距离减去半径就是PQ长度的最小值.连接A1O,ON,作OHA1N交A1N于H,则SA1NO=22-1221-1211-1221=32,所以12A1NOH=32,解得OH=355,所以PQ长度的最小值为355-1. 图D 8-2-17图D 8-2-18
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