1、第2课时 零点的存在性及其近似值的求法1.函数零点存在定理(1)条件：函数y=f(x)在区间a，b上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)0.(2)结论：函数y=f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0(a，b)，f(x0)=0.【思考】(1)函数y=f(x)在区间a，b上的图像是连续不断的曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间a，b上的零点个数？提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.(2)函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0.2.二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x
2、)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法.【思考】能否用二分法求方程的近似解？提示：能，方程的根即为函数的零点.3.用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度，用二分法求函数f(x)零点x0近似值x1，使得|x1-x0|的一般步骤如下：第一步，检查|b-a|2是否成立，如果成立，取x1=，计算结束，如果不成立转到第二步；第二步，计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f()=0，取x1=，计算结束；若f()0，转 到第三步；第三步，若f(a)f()0，将 b，回到第一步；否则必有f()f(b)0，将 a，回到第一步.【思考】当|b-a|2时，取区间
3、(a，b)的中点作为零点的近似解，区间(a，b)上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x0，区间(a，b)的其他点为x，x也可能是零点的近似解，即满足|x-x0|0，则在区间(a，b)上一定没有零点.()(3)求任何函数的零点都可以用二分法.()提示：(1).函数y=2x-1的零点是.(2).如f(x)=x2在区间(-1，1)上有f(-1)f(1)=11=10，但是在区间(-1，1)上有零点0.(3).函数需满足在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0，才能用二分法求零点.2.下列图像表示的函数中没有零点的是()【解析】选A.B，C，D的图像均与
4、x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点.3.下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()【解析】选A.只有A中图像没有穿越x轴.类型一 函数零点所在区间的求法 【典例】1.若abc，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(-，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，+)内D.(-，a)和(c，+)内2.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是()A.(1，+)B.C.D.【思维引】1.根据函数零点存在定理，找到一个区间，使得在区间两端点函数值异号.2.计算
5、在各个区间端点处的函数值，利用零点存在定理判断.【解析】1.选A.因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，所以f(a)=(a-b)(a-c)，f(b)=(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b)，因为ab0，f(b)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，故x1(a，b)，x2(b，c)，f(x1)=0，f(x2)=0，所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.2.选B.f(1)=2-1=1，即f f(1)0，所以x0 ，f(x0)=0，且f(x)的图像在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.【内化悟】
6、求函数零点所在区间的关键是什么？提示：判断区间端点处函数值与0的大小关系.【类题通】判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.【习练破】对于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判断：在(-2，-1)内有实数根；在(-1，0)内有实数根；在(1，2)内有实数根；在(-，+)内没有实数根.其中正确的有_.(填序号)【解析】设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-10，f(0)=-10，f(
7、1)=-10，所以f(-2)f(-1)0，f(-1)f(0)0，f(1)f(2)0，所以x1(-2，-1)，x2(-1，0)，x3(1，2)，f(x1)=0，f(x2)=0，f(x3)=0.则f(x)在(-2，-1)，(-1，0)，(1，2)内均有零点，即正确.答案：【加练固】函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是_.【解析】因为函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2，0)和(2，3)内各有一个零点，由二次函数图像的性质，知解得-3a0，f(2)0，则f(x)在(1，2)上的零点世纪金榜导学号()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅
8、有一个D.一个也没有【思维引】1.令f(x)=0，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断.2.先确定函数，再分类讨论a的范围.【解析】1.选C.令f(x)=-x2+1=0，得=x2-1，则函数f(x)的零点个数，即y=与y=x2-1的交点个数，如图所示，有两个交点，故函数f(x)=-x2+1有两个零点.2.选C.若a=0，则f(x)=bx+c是一次函数，由f(1)f(2)0，与已知矛盾.【内化悟】在不求零点的情况下怎样判断函数零点的个数？提示：转化为两个函数的图像的交点问题，几个交点就有几个零点.【类题通】利用函数的图像判断零点个数(1)原理：函数的零点个数方程的根的个数移项拆分为两
9、个函数，作图观察交点个数.(2)关键：拆分成的两个函数应方便作图.【习练破】函数f(x)=x2-(k+2)x+1-3k有两个不等零点x1，x2，且0 x11x22，求实数k的取值范围.【解析】因为函数f(x)=x2-(k+2)x+1-3k有两个零点x1，x2，且0 x11x20，且f(1)=-4k0，所以0k .所以实数k的取值范围为【加练固】函数f(x)=2-(x-1，1)的零点个数为_.【解析】令2-=0，解得x=0，所以函数仅有一个零点.答案：1类型三 二分法的应用 角度1 二分法概念的理解【典例】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1B.x2C.x3
10、D.x42.用二分法求函数y=f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精度为0.1，需将区间等分_次.【思维引】1.根据二分法的定义判断.2.根据二分法求零点的步骤判断.【解析】1.选C.二分法求函数f(x)的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而题图中函数在零点x3的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出.2.开区间(2，4)的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为因为用二分法求函数y=f(x)在区间(2，4)上的近似解，要求精确度为0.1，所以 0.2，解得n4.答案：4【内化悟】能用二分法求零点的函数图像有什么特
11、征？提示：函数的图像应穿过x轴，零点左右的函数值符号相反.【类题通】运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图像在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【习练破】1.下列函数中，不能用二分法求零点的是()【解析】选D.由函数图像可得，D中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；A，B，C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点.2.下列函数的零点不能用二分法求解的是()A.f(x)=x3-1B.f(x)=2x-1C.f(x)=|x|D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.所给函数均为连续函数，故只需考
12、虑是否存在区间a，b，使得f(a)f(b)0即可.对于A，存在区间0，2，使得f(0)f(2)0，对于B，存在区间0，1，使得f(0)f(1)0，对于C，由于f(x)=|x|0，故不存在区间a，b，使得f(a)f(b)0，对于D，存在区间0，1，使得f(0)f(1)0.角度2 用二分法求函数的近似解【典例】1.用二分法研究函数f(x)=x3-2x-1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为()A.(1，2)B.(1.75，2)C.(1.5，2)D.(1，1.5)2.已知函数f(x)=x3+2x-8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示：x121.51.6251.
13、75f(x)-5.004.00-1.63-0.460.86则方程x3+2x-8=0的近似解可取为(精度0.1)()世纪金榜导学号A.1.50B.1.625C.1.75D.1.6875【思维引】1.确定有解区间要计算f(1)，f(2)，f(1.5).2.首先确定有解区间，再验证是否满足精度.【解析】1.选C.对于函数f(x)=x3-2x-1，因为f(1)=-20，f(1.5)=-0，因此x0(1.5，2)，f(x0)=0.所以下一个有根区间是(1.5，2).2.选D.由表格可得，f(1.625)f(1.75)0，那么x0(1.625，1.75)，f(x0)=0，所以函数f(x)的零点在(1.62
14、5，1.75)之间，又1.75-1.625=0.12520.1=0.2，所以方程的零点可以取【内化悟】1.怎么样确定零点所在的区间？提示：取中点，计算中点的函数值，与端点函数值比较符号异同，在符号相异的一侧区间内.2.怎样确定二分法终止的区间？提示：验证是否满足|a-b|2.【类题通】用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是m，c还是c，n，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.【习练破】1.用二分法求函数f(x)=x
15、3+5的零点可以取的初始区间是()A.-2，1B.-1，0C.0，1D.1，2【解析】选A.二分法求变号零点时所取初始区间a，b，应满足f(a)f(b)0.本题中函数f(x)=x3+5，由于f(-2)=-3，f(1)=6，显然满足f(-2)f(1)0，因此x0(-2，1)，f(x0)=0，故函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是-2，1.2.用二分法求f(x)=0的近似解，f(1)=-2，f(1.5)=0.625，f(1.25)=-0.984，f(1.375)=-0.260，下一个求f(m)，则m=_.【解析】根据题意，方程f(x)=0的根应该在区间(1.375，1.5)上，则m=1.
16、437 5.答案：1.437 5【加练固】用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间0，4上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A.(0，1)B.(0，2)C.(2，3)D.(2，4)【解析】选B.因为f(0)=20+0-7=-60，又已知f(2)=22+6-7=30，所以f(0)f(2)0，因此x0(0，2)，f(x0)=0所以零点所在区间为(0，2).角度3 零点、二分法的综合应用【典例】若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是_.【思维引】根据函数的一个零点在区间(-2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，可以求出f(-2)与f(0)的关系和f(1)与f(3)的关系，再求出a的取值范围.【解析】根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：由图可知解得-12a0.答案：(-12，0)
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