1、5.3 概 率5.3.1 样本空间与事件1.样本点和样本空间样本点:把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点.样本空间:把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母表示).【思考】样本点是杂乱无章出现的吗?提示:不是杂乱无章出现的,是有一定规律可循的.2.随机事件(1)不可能事件:在同样的条件下重复进行试验时,始终不会发生的结果.(2)必然事件:在同样的条件下重复进行试验时,每次试验中一定会发生的结果.(3)随机事件:在同样的条件下重复进行试验时,可能发生,也可能不发生的结果.【思考】事件的分类是确定的吗?提示:事件的分类是相对于条件来讲的,在不同的条件下,必然事件、随机事件
2、、不可能事件可以相互转化.3.随机事件的概率不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1;任意事件A的概率为:0P(A)1.【思考】事件A的概率可能大于1吗?提示:根据随机事件的概率知道,任意事件A的概率为:0P(A)1,不可能出现概率大于1的事件.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)三角形的内角和为180是必然事件.()(2)“抛掷硬币三次,三次正面向上”是不可能事件.()(3)“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件.()提示:(1).因为三角形的内角和为180,所以三角形的内角和为180是必然事件.(2).“抛掷硬币三次,三次正面向上”是可能发生的,所以是随机事件.
3、(3).数学总分150分,李欢同学考130分以上是随机事件.2.下列事件中,是随机事件的有()在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;若a为整数,则a+1为整数;发射一颗炮弹,命中目标;检查流水线上一件产品是合格品还是次品.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.当a为整数时,a+1一定为整数,是必然事件,其余3个均为随机事件.3.下列事件是确定事件的是()A.2022年世界杯足球赛期间不下雨B.没有水,种子发芽C.对任意xR,有x+12xD.抛掷一枚硬币,正面向上【解析】选B.选项A,C,D均是随机事件,选项B是不可能事件,所以也是确定事件.4.“同时抛掷两枚质地均
4、匀的硬币,记录正面向上的枚数”,该试验的结果样本点共有_个.【解析】正面向上的枚数可能为0,1,2,共3个样本点.答案:3类型一 样本点和样本空间【典例】1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为()A.2B.3C.4D.62.连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.(1)写出这个试验的所有样本点.(2)求这个试验的样本点的总数.(3)记“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件为集合A,请写出集合A的样本空间?【思维引】1.根据题目给出的条件,一一列举样本点,求出样本点的个数.2.样本空间必须用集
5、合表示.【解析】1.选C.用列举法列举出“数字之和为奇数”的样本点为:(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4个.2.(1)这个试验包含的样本点有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正)(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).(2)这个试验包含的样本点的总数是8.(3)“恰有两枚硬币正面朝上”的样本空间为:=(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).【内化悟】列举样本点时要注意哪些问题?提示:列举样本点时一定要按一定的规律列举,必须做到不重不漏.【类题通】基本事件的两个探求方法(1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适
6、合于较为简单的试验问题.(2)树状图法:树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.【习练破】有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出该试验的样本空间.【解析】这个试验的样本空间为:类型二 随机事件【典例】1.下列事件中的随机事件为()A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)cB.没有水和空气,人也
7、可以生存下去C.抛掷一枚硬币,反面向上D.在标准大气压下,温度达到60 时水沸腾2.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情世纪金榜导学号()A.可能发生 B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生【思维引】1.依据在一次试验中,可能发生也可能不发生的事件称为随机事件,进行判断.2.可分以下三种情况:(1)红桃、梅花全部抽出.(2)梅花、黑桃全部抽出.(3)红桃、黑桃全部抽出.【解析】1.选C.A中的等式是实数乘法的结合律,对任意实数a,b,c是恒成立的,故A是必然事件.在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存下
8、去的,故B是不可能事件.抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并不知道会是正面向上还是反面向上,故C是随机事件.在标准大气压的条件下,只有温度达到100,水才会沸腾,当温度是60 时,水是绝对不会沸腾的,故D是不可能事件.2.选D.因为若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花,所以这个事件一定发生,是必然事件.【内化悟】判断一个事件是不是随机事件的关键是什么?提示:关键是看在同样条件下重复进行试验结果能否预知.【类题通】要判定某事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对
9、于一定条件而言的.其次再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.【习练破】给出下列四个命题:“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;当“x为某一实数时可使x20”是不可能事件;“每年的国庆节都是晴天”是必然事件;“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.“每年的国庆节都是晴天”是随机事件,故错误;的判断均正确.类型三 随机事件的概率【典例】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编
10、号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.世纪金榜导学号(1)写出该试验的样本空间.(2)用集合表示A:恰好摸出1个黑球和1个红球;B:至少摸出1个黑球.(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小.【思维引】(1)可以利用初中学过的树状图写出;(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的样本空间;找出至少摸出1个黑球的样本空间;(3)根据两个集合包含样本点的个数直观判断两个事件概率的大小.【解析】(1)用树状图表示所有的结果为:所以该试验的样本空间为=ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.(2)A=ac,ad,ae,bc,bd,be;B=ab,ac,ad,ae,bc,bd,
11、be.(3)因为集合A中包含6个样本点,集合B中包含7个样本点,所以从直观上看,P(A)P(C).【类题通】概率意义的理解(1)概率是事件固有的属性,可以通过大量重复的试验得到其近似值.但在一次试验中事件发生与否都是有可能的.(2)概率反映了事件发生的可能性,可以看作是频率在理论上的期望值.【习练破】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为_.【解析】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种情况,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数.答案:4
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