1、6.2.3 平面向量的坐标及其运算必备知识自主学习1.平面向量的坐标(1)向量的垂直:平面上的两个非零向量a,b,如果它们所在的直线_,则称向量a,b垂直,记作ab.规定_与任意向量都垂直.导思1.平面向量如何用坐标表示?如何进行向量的坐标运算?2.如何利用向量的坐标表示两点距离和向量的平行?互相垂直零向量(2)向量的正交分解:如果平面向量的基底e1,e2中,e1e2,则称这组基底为_,在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.(3)向量的坐标:给定平面内两个相互垂直的_,对于平面内的向量a,如果a=_,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=_.正交基底单位向量e1,e2xe1+ye2(x,y
2、)【思考】(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系?提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).(2)平面中,若以e1的方向为x轴的正方向,以e2的方向为y轴的正方向,则e1,e2的坐标分别是什么?提示:e1=(1,0),e2=(0,1).(3)向量的坐标就是其终点的坐标吗?提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.(4)符号(x,y)表示点与表示向量有什么不同?提示:符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一
3、个固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y)或向量(x,y).给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无数个.根据坐标的意义可得,当且仅当两个向量的坐标相同时,两个向量相等.2.平面上向量的运算与坐标的关系(1)向量加法与减法运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=_,a-b=_,a=_.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)向量相等的充要条件:a=b_且_.ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2);ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2).(2
4、)模长公式:设a=(x,y),则|a|=x1=x2y1=y23.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式如图所示,在平面直角坐标系中,设A(x1,y1),B(x2,y2),则:(1)向量=(x1,y1),=(x2,y2),向量=_.(2)它们之间的距离:AB=|=_.(3)设AB的中点M(x,y),则x=_,y=_.(x2-x1,y2-y1)【思考】“若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-x2,y1-y2)”对吗?提示:不对,应该用终点坐标减去始点坐标.4.向量平行的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab_.x2y1=x1y2【思考】(1)把x1y2-
5、x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以吗?怎样记忆此公式的表达式?提示:写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,这一公式可简记为:纵横交错积相减.(2)在向量平行的坐标表示中,改为ab,即用语言可以表述为:两个向量平行的条件是相应坐标成比例.对不对?提示:不正确.当x2=0或y2=0时不成立.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()(4)向量(2,3)与向量(-4,-6
6、)同向.()2.已知a=(2,1),b=(3,-2),则3a-2b的坐标是()A.(0,-7)B.(0,7)C.(-1,3)D.(12,-1)【解析】选B.3a-2b=3(2,1)-2(3,-2)=(6,3)-(6,-4)=(0,7).3.(教材二次开发:例题改编)已知向量a=,b=(x,1),其中x0,若(a-2b)(2a+b),则x的值为()A.4 B.8C.0D.2【解析】选A.a-2b=2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)(2a+b),则(8-2x)(x+1)=(16+x),解得x2=16,因为x0,所以x=4.关键能力合作学习类型一 向量的坐标表示(直观想象)【题组训练
7、】1.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为()A.(4e1,3e2)B.(4e1,-3e2)C.(4,3)D.(4,-3)2.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|=6,xOA=150,向量的坐标为_.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,AOx=45,OAB=105,=a,=b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a,b的坐标;(2)求向量的坐标;(3)求点B的坐标.【解题策略】求向量坐标的方法(1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来.(2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(3
8、)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.类型二 向量的坐标运算(数学运算)【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且求M,N及的坐标.【思路导引】方法一:先求,设出M,N的坐标,根据列方程求解.方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算,的坐标.【解题策略】平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行计算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.【跟踪训练】若A,B,C三点
9、的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐标.【解析】因为=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+2 =(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),-=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).类型三 向量坐标运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度1 向量共线的判定【典例】已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量共线的单位向量是()A.(3,-4)B.C.(-6,8)D.【思路导引】利用向量共线的坐标表示判断.【变式探究】本例选项中有哪些向量与共线,其中有反向的向量吗?提示:因
10、为=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),故A.(3,-4),B.,C.(-6,8)均与共线,且B,C选项的向量与反向.角度2 利用向量共线的坐标表示求参数【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【思路导引】方法一:根据共线向量定理知存在唯一实数,使ka+b=(a-3b)列方程求解.方法二:写出ka+b和a-3b的坐标,利用平行向量的坐标关系求解.角度3 三点共线问题【典例】已知A(1,-3),B,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是()A.(-9,1)B.(9,-1)C.(9,1)D.(-9,-1)【思路导引】设出点C
11、的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量(或),由向量共线的条件结合选项求解.【解题策略】1.利用向量共线的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.2.由共线的坐标条件求参数的解题步骤(1)分别写出共线的两个向量的坐标.(2)通过共线条件列出方程(组).(3)解方程(组)求出参数.3.三点共线问题的实质是向量共线问题,只要利用三点构造出两个向量,再使用向量共线的条件解决即可.【题组训练】1.(2020宜昌高一检测)已知点A(3,7),B(0,11),单位向量e=,(0),则e=()【解析】选B.由已知
12、=（3,4）=-5 ,故e=2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=()A.13B.-13C.9D.-9【解析】选D.因为A,B,C三点共线,所以(-5-3)(y+6)-(6-3)(2+6)=0,所以y=-9.3.若向量a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b.(1)若u=3v,求x.(2)若uv,求x,并判断u与v是同向还是反向.【补偿训练】已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若(R),试求为何值时,(1)点P在一、三象限的角平分线上;(2)点P在第三象限内.【方法总结】1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一,实质是先
13、将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,这是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.备选类型 向量的模(逻辑推理、数学运算)【典例】(2020鄂尔多斯高一检测)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,则点P的坐标为()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,-1)或(-1,1)D.(3,1)或(1,-1)【解题策略】求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(后续学习向量的数量积运
14、算后会有此种类型的题目).(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.【跟踪训练】(2020宿州高一检测)已知向量a=(x,2)，b=(-1,1)，若|a-b|=|a+b|，则x的值为_.【解析】因为a=(x,2)，b=(-1,1)，所以a+b=（x-1,3）,a-b=x+1,1.因为|a-b|=|a+b|，所以有答案：2【点评】如果|a-b|=|a+b|,则a,b是互相垂直的两个向量,记住此结论有助于解决此类问题.课堂检测素养达标1.已知=a,且A ,B,又=,则a等于()【解析】选A.因为a=所以a=a=2.若向量=(1,2),=(3,4),则等于()A.(4,6)B.(-4,-6)C.(-2,-2)D.(2,2)【解析】选A.=(1,2)+(3,4)=(4,6).3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=_.【解析】2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=.答案:4.(2020上海高一检测)设=(k,12),=(4,5),=(10,k),则k=_时,点A,B,C共线.5.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标.
