1、第25讲 函数、不等式模型实际应用问题1考题展望函数、不等式模型及应用是新课标新增内容，因此新高考进一步加大了对应用意识和创新意识的考查力度这些试题源于生活，背景公平，设问新颖，能很好地考查学生应用意识和创新意识以及分析问题和解决问题的能力函数、不等式模型及应用通常是一小一大，求解时一般要利用导数或均值不等式等知识从近几年高考应用题来看，应用题大致分为两类，一类是以实际生产生活问题构建试题背景，从已知中初步建立了数学模型，并且需依据问题情境，进一步构建或重组数学模型并应用模型相关的数学基本知识来进行解模的实际应用问题另一类是实际生产生活问题既构建了试题背景，又反映某种特定关系，需通过先建模，后
2、解模的实际应用问题；从题目叙述上看，既有从“生活语言”到“数学语言”，又有从“数学语言”到“数学语言”的特征，并且试题文字较长，问题情境贴近学生而又新颖，对考生挑战很大2高考真题考题1(2012 江苏)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程 ykx 120(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【解析】(
3、1)在 ykx 120(1k2)x2(k0)中，令 y0，得 kx 120(1k2)x20.由实际意义和题设条件知 x0，k0.x 20k1k2 201kk202 10，当且仅当 k1 时取等号炮的最大射程是10 千米(2)a0，炮弹可以击中目标等价于存在 k0，使 ka 120(1k2)a23.2 成立，即关于 k 的方程 a2k220aka2640 有正根 由(20a)24a2(a264)0 得 a6.此时，k20a（20a）24a2（a264）2a20(不考虑另一根)当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标【命题立意】本题主要考查函数、方程和基本不等式等知识，考查阅读理解能力和应用意
4、识考题2(2012湖南)某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1(单位：件)已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案【解析】(1)设完成 A，B，C 三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为 T1
5、(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有 T1(x)23 0006x1 000 x，T2(x)2 000kx，T3(x)1 500200（1k）x，其中 x，kx，200(1k)x 均为 1 到 200 之间的正整数(2)完成订单任务的时间为 f(x)maxT1(x)，T2(x)，T3(x)，其定义域为x|0 x 2001k，xN*易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数 注意到 T2(x)2kT1(x)，于是 当 k2 时，T1(x)T2(x)，此时 f(x)maxT1(x)，T3(x)max 1 000 x，1 5002003x，由函数 T1(x)，T3(x)的单调性知，当
6、1 000 x 1 5002003x时 f(x)取得最小值，解得 x4009.由于 444009 45，而 f(44)T1(44)25011，f(45)T3(45)30013，f(44)2 时，T1(x)T2(x)，由于 k 为正整数，故 k3，此时记 T(x)37550 x，(x)maxT1（x），T（x），易知 T(x)为增函数，则 f(x)maxT1（x），T3（x）maxT1（x），T（x）(x)max1 000 x，37550 x.由函数 T1(x)，T(x)的单调性知，当1 000 x 37550 x时(x)取得最小值，解得 x40011.由于 3640011 25011，(37)
7、T(37)37513 25011，此时完成订单任务的最短时间大于25011.当 k2 时，T1(x)30 时，由 303(T30)50，得 3060 时，由 503(T60)70，得 601）.(2)因为 f(t)0.25，即4t0.25 且0t1（12）t30.25且t1 解得 116t11t5，116t5.所以服药一次治疗疾病有效的时间为 5 11641516个小时 设 t5，5 116，5 小时第二次服药后，血液中含药量 g(t)为第二次产生的含药量4(t5)毫克以及第一次剩余量(12)t3 毫克，即g(t)4(t5)(12)t3，只要证明，当 t5，5 116时，g(t)0.25即可
8、因为 g(t)4(12)t3ln124(12)t3ln2，注意 g(t)在 R 上是增函数，从而 g(t)在5，5 116上有 g(t)g(5)4(12)2ln20.所以 g(t)在5，5 116上是增函数故 g(t)g(5)0.25.当 t5 时，第二次服药，t5，5 116时，药效连续【点评】本例题是先依题设建立函数模型，然后依据题设目标应用不等式和函数基础知识解决实际问题备选题例5某公司为了实现 1 000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超
9、过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%，现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型符合公司的要求？(log71 0003.55，log7101.18)【解析】函数 y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图象如右：观察图象发现，在区间10，100内模型函数 y0.25x，y1.002x 的图象有一部分在直线 y5 上方只有模型函数 ylog7x1 的图象始终在直线 y5 的下方说明按模型函数 ylog7x1 进行奖励才符合公司的要求理由是：1)计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万 对于模型函数 y0.25x 在10，1 000上递增 且当 x2
10、0 时，y5；当 x20 时，y5.所以该模型不符合要求 对于模型函数 y1.002x.由于(1.002)1 000(12103)1 0001C1 00012103C1 000222106C1 0003231096.3275.而 y1.002x 在10，1 000上为递增函数 因此存在 x010，1 000，使得当 xx0 时，y5 且 xx0 时，y5，所以该模型不合要求 对于模型函数 ylog7x1 在区间10，1 000上递增，且当 x1000 时，ylog71 00014.555.即它符合奖金总数不超过 5 万元的要求 2)计算按模型 ylog7x1 奖励时，奖金是否超过利润的 25%
11、，即当 x10，1 000时，是否有yxlog7x1x0.25 令 f(x)log7x10.25x，x10，1 000 f(x)1xlog7e0.251x0.25 1100.250.f(x)在10，1 000上是减函数 因此 f(x)f(10)0.320.即 log7x10.25x.故 x10，1 000时，log7x1x0.25.说明按 ylog7x1 奖励，奖金不会超过利润的 25%.综上所述，模型 ylog7x1 符合公司要求【点评】本题属新课标中函数模型拟合的内容应用函数模型的比较，决策最优方案也是应用函数模型的基本问题之一1函数模型应用实例的基本题型；(1)给定函数模型解决实际问题；
12、(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2函数建模的基本流程3解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间 t 的函数，其图象可能是()A2某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连
13、续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出的四个价格模拟函数中合适的是(其中 p，q 为常数，且 q1，x0，5，x0 表示 4 月 1 日，x1 表示 5 月 1 日，以此类推)()Af(x)pqxBf(x)px2qx1Cf(x)x(xq)2pDf(x)plnxqx2C【解析】由题意，排除 A、B，对于选项 C：f(x)3x24qxq2，令 f(x)0，得 xq 或q3，都大于 0.当 xq3时，f(x)单调递增，当q3xq 时，f(x)单调递减，当 xq 时，f(x)单调递增，满足题意 对于 D：f(x)px2qx，f(x)0 无根或有两异号根，不合
14、题意(舍去)，故选 C.3国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式 nxy(x：人均食品支出总额，y：人均个人消费支出总额，且 y2x475)各种类型家庭的恩格尔系数如下：李先生居住地 2012 年比 2006 年食品价格下降了 7.5%，该家庭在 2012 年购买食品和 2006 年完全相同的情况下人均少支出 75 元，则该家庭 2012年属于()A贫困 B温饱 C小康 D富裕【解析】设李先生家庭 2012 年人均食品支出为 x 元，则 2006 年人均食品支出为(x75)元 故xx7517.5%，x3725，n372537501925379340%.故选
15、D.D李先生居住地 2012 年比 2006 年食品价格下降了 7.5%，该家庭在 2012 年购买食品和 2006 年完全相同的情况下人均少支出 75 元，则该家庭 2012年属于()A贫困 B温饱 C小康 D富裕【解析】设李先生家庭 2012 年人均食品支出为 x 元，则 2006 年人均食品支出为(x75)元 故xx7517.5%，x3725，n372537501925379340%.故选 D.4根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)cx，x0，解得 0 x9；导数 yx2819，所以函数 y13x381x234 在区间(0，9)上是增函数，在区间(9
16、，)上是减函数，所以函数在 x9 处取极大值，也是最大值95已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y13x381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万件【解析】令导数 yx2810，解得 0 x9；导数 yx2819，所以函数 y13x381x234 在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，所以函数在 x9 处取极大值，也是最大值6某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：万元/千克)满足关系式 y ax210(x5)2，其中2x5，a 为常数，已知销售价格为 4 万元/千克时，
17、每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本价格为 2 万元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解析】(1)因为 x4 时，y11，所以a21011a2；(2)由(1)知该商品每日的销售量 y2x210(x5)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：f(x)(x2)2x210(x5)2210(x2)(x5)2，2x0.f(x)x33x102a，（xa）x3x102a，（0 xa）f(x)3x23，（xa）3x21，（0 x0，f(x)递增，xa，)时，f(x)3x330，f(x)递增，故 f(x)的增区间为(0，)当 0a0，f(x)
18、递增，x(a，1)时，f(x)3x230，f(x)递增，故 f(x)的增区间为(0，a)、(1，)(2)a12，1，x12，32 由(1)f(x)在(12，a上为递增，在(a，1)上递减，在(1，32)上递增，则 fmin(x)minf(12)，f(1)又 f(12)(12)312102a858 2a，f(1)82a，f(1)f(12)4a218.则当12a2132时，f(1)f(12)，故当 a12，2132)时，fmin(x)f(1)2a89，可以实现目标 当2132a1 时，f(1)f(12)，fmin(x)f(12)858 2a698，14916 从而当 a2132，1316时，fmin(x)f(12)9；当 a(1316，1时，fmin(x)f(12)9.综上可知 a12，1316时，能实现目标，a(1316，1时，不能实现目标