1、第2课时 等比数列习题课关键能力素养形成类型一 等差、等比数列性质的应用【典例】1.已知数列an为等比数列,满足a3a11=6a7;数列bn为等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=()A.13B.48C.78D.1562.由实数构成的等比数列an的前n项和为Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6=()A.62B.124C.126D.154【思维引】1.利用等比数列的性质求出b7,即a7,同时求S13;2.利用等差条件求出q,再求S6.【解析】1.选C.因为数列an为等比数列,满足a3a11=6a7,所以=6a7,解得a7=6,因为数列bn为等差数列,其前n项和为
2、Sn,且b7=a7,所以b7=a7=6,所以S13=13b7=136=78.2.选C.因为数列an是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即22q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以an的公比q=2.则S6=126.【内化悟】本例2中的等差条件的作用是什么?提示:利用等差中项构造方程求公比.【类题通】等差、等比数列性质的综合应用(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.【习练破】(202
3、0江苏高考)设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列,已知数列an+bn的前n项和Sn=n2-n+2n-1(nN+),则d+q的值是_.【解析】设数列an,bn的首项分别为a1,b1,前n项和分别为An,Bn,则An=n2+结合Sn=n2-n+2n-1,所以d+q=4.答案:4【加练固】已知等差数列an的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则=()A.2B.3C.5D.7【解析】选C.等差数列an的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列可得=a1a4,即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化为a1=d,则=5.类型二 错位相减法求和【典例】已知等比数列an的
4、公比q0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=,求数列bn的前n项和Tn.【思维引】(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,a1,q求通项.(2)利用错位相减法求前n项和.【解析】(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2=4,q0,所以q=2,所以an=82n-4=2n-1.(2)bn=两式相减得:所以Tn=8-(n+2)【内化悟】本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公式
5、较为方便?提示:可以得到这个等比数列的首项、公比,利用公式Sn=【类题通】关于错位相减法求和(1)适用范围:an是等差数列,bn是等比数列(q1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;(2)求和步骤对求和式Sn=c1+c2+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成qSn=c1q+c2q+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,(i)(ii)式形成错位;(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;两边同除以1-q,整理得Sn.【习练破】已知等差数列an满足a2=0,a
6、6+a8=-10.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得故数列an的通项公式为an=2-n.(2)Sn=所以两式相减得所以【加练固】已知递减的等比数列an各项均为正数,满足a1a2a3=8,a1+1,a2+1,a3构成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由等比数列性质可知a1 a2 a3=8,所以a2=2,a1a3=4.由a1+1,a2+1,a3构成等差数列,可知a1+1+a3=2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.由等比数列an递减可知于是q=.所以an=
7、a1qn-1=4(2)由(1)可知bn=nan=n,于是Sn=1两式相减得=8-(n+2),故Sn=16-(n+2).类型三 等比数列Sn与an的关系角度1 求Sn与an的关系【典例】已知正项等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是()A.Sn=2an-1B.Sn=2an+1C.Sn=4an-3D.Sn=4an-1【思维引】分别表示出Sn与an,再确定关系.【解析】选A.设等比数列的公比为q(q0),由a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.所以Sn=,则Sn=2an-1.【素养探】在确定
8、Sn与an的过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过对Sn计算公式寻求二者之间的关系.本例中的等比数列an,若已知an=3n-1,则Sn与an的关系是什么?提示:Sn=角度2Sn与an的关系的应用【典例】数列an的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关于an的论断中正确的是()A.一定是等差数列B.可能是等差数列,但不会是等比数列C.一定是等比数列D.可能是等比数列,但不会是等差数列【思维引】由Sn与an的关系,推导出an+1与an的关系,结合a1的取值进行判断.【解析】选B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n2),而n=
9、1时,a2=3S1=3a1,可知该数列不是等比数列.当an=0时,数列an为等差数列.故本题正确答案为B.【类题通】关于等比数列Sn与an的关系(1)Sn与an的关系可以由Sn=得到,一般已知a1,q即可得到二者之间的关系,也可以通过特殊项验证判断;(2)Sn-Sn-1=an(n2)是Sn与an之间的内在联系,既可以推出项an-1,an,an+1之间的关系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之间的关系,体现了Sn与an关系的本质.【习练破】已知等比数列an的公比q0且q1,其前n项和为Sn,则S2a3与S3a2的大小关系为()A.S2a3S3a2B.S2a30,所以S2a30,a2+a3=120
10、,故a20,a30.根据根与系数的关系,可知a2,a3是一元二次方程x2-12x+32=0的两个根.解得a2=4,a3=8,或a2=8,a3=4.故必有公比q0,所以a1=0.因为等比数列an是递增数列,所以q1.所以a2=4,a3=8满足题意.所以q=2,a1=2.故选项A不正确.an=a1qn-1=2n.因为Sn=2n+1-2.所以Sn+2=2n+1=42n-1.所以数列Sn+2是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B正确.S8=28+1-2=512-2=510.故选项C正确.因为lg an=lg 2n=n.所以数列lg an是公差为1的等差数列.故选项D不正确.二、填空题(每小题5分,
11、共10分)5.已知等比数列an的前n项和为Sn,且满足4a1,2a2,a3成等差数列,则数列an的公比q=_,如果a1=1,则S4=_.【解析】由4a1,2a2,a3成等差数列,可得4a1+a3=4a2,即4a1+a1q2=4a1q,可得q2-4q+4=0,解得q=2,又因为a1=1,则S4=15.答案:2156.(2020上饶高二检测)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=+a3n,则=_.【解析】因为等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=+a3n,所以a1=S1=+3a,a2=S2-S1=9a-3a=6a,a3=S3-S2=27a-9a=18a,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(6
12、a)2=18a,解得a=-(a=0舍去),所以 =28.答案:28【加练固】记等差数列an的前n项和为Sn,bn为等比数列,已知S5=10,且b10=a2+a4,则b5b15=_.【解析】设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由S5=10,且b10=a2+a4,可得5a1+10d=10,b10=2a1+4d,即有b10=4,b5b15=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式.(2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.【解析】(1)设an的公比为q,由题设
13、得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.8.已知等比数列an的首项为2,等差数列bn的前n项和为Sn,且a1+a2=6,2b1+a3=b4,S3=3a2.(1)求an,bn的通项公式;(2)设cn=,求数列cn的前n项和.【解析】(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d.由a1+a2=6,得a1+a1q=6.因为a1=2,所以q=2.所以an=a1qn-1=22n-1=2n.由得解得所以bn=b1+(n
14、-1)d=3n-2.(2)由(1)知an=2n,bn=3n-2.所以cn=32n-2.从而数列cn的前n项和Tn=3(21+22+23+2n)-2n=3 -2n=62n-2n-6.【能力练】(20分钟40分)1.(5分)已知an是等比数列,数列bn满足bn=log2an,nN+,且b2+b4=4,则a3的值为()A.1B.2C.4D.16【解析】选C.an是等比数列,数列bn满足bn=log2an,nN+,且b2+b4=4,则log2(a2a4)=4,则=24,整理得a3=4,由于an0,所以a3=-4舍去,故a3=4.【加练固】已知数列an满足log2an+1=1+log2an(nN+),且
15、a1+a2+a10=1,则log2(a101+a102+a110)的值等于()A.10B.100C.210D.2100【解析】选B.由题意log2an+1-log2an=1,整理得:=2(常数),且a1+a2+a10=1,则=1,解得:a1=,所以a101=a12100=,则log2(a101+a102+a110)=log2 =log22100=100.2.(5分)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则an等于()A.34nB.34n+1C.D.【解析】选C.当n1时an+1=3Sn则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即a
16、n+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.又a2=3S1=3a1=3.所以an=3.(5分)已知Sn是数列an的前n项和,Sn=2-2an+1,若a2=,则S5=_.【解析】Sn是数列an的前n项和,Sn=2-2an+1,当n2时,Sn-1=2-2an,两式相减得an=-2an+1+2an,所以an+1=an,又a1=2-2a2=1,a2=,所以an是以1为首项,为公比的等比数列,则S5=.答案:4.(5分)(2020郑州高二检测)记Sn为等比数列an的前n项和,若数列Sn-2a1也为等比数列,则=_.【解析】根据题意,设等比数列an的公比为q,对于等比数列Sn-2a1
17、,其前三项为:-a1,a2-a1,a3+a2-a1,则有(-a1)(a3+a2-a1)=(a2-a1)2,变形可得:-(q2+q-1)=(q-1)2,解得:q=或0(舍),则q=,则.答案:5.(10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=9,a1、a3、a7成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an是递增数列,数列bn满足bn=,Tn是数列anbn的前n项和,求Tn.【解析】(1)等差数列an的公差设为d,S3=9,a1、a3、a7成等比数列,可得3a1+3d=9,=a1a7,即(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=3,d=0或a1=2,d=1,则an=3或an
18、=n+1;(2)因为数列an是递增数列,所以d0,即an=n+1,bn=2n+1,从而anbn=(n+1)2n+1,Tn=222+323+424+(n+1)2n+1,2Tn=223+324+425+(n+1)2n+2,-得-Tn=8+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=8+-(n+1)2n+2=-n2n+2,所以Tn=n2n+2.6.(10分)(2020新高考全国卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN+)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.【解析】(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a
19、1q3=20,a1q2=8.解得q=(舍去),或q=2,a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm100的最小的n值.【解析】根据题意,数列an满足Sn=3an-2,当n2时,有Sn-1=3an-1-2,-可得:an=3an-3an-1,可得2an=3an-1,当n=1时,有S1=a1=3a1-2,解得a1=1,则数列an是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=,数列nan的前n项和为Tn,则Tn=1+2 +3 +n ,则Tn=+2 +3 +n ,-可得-Tn=1+-n =-2 -n ,变形可得Tn=4+(2n-4),若Tn100,则4+(2n-
20、4)100,即(2n-4)96,经验证可知n7.故满足Tn100的最小的n值为7.3.(2020浙江高考)已知数列an,bn,cn中,a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=cn(nN+).(1)若数列bn为等比数列,且公比q0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;(2)若数列bn为等差数列,且公差d0,证明:c1+c2+cn0得q=,所以bn=,bn+2=,cn+1=cn=4cn,所以=4,所以cn是首项c1=1,公比为4的等比数列,cn=4n-1,由an+1-an=cn=4n-1得an-a1=40+41+4n-2得an=.(2)bn=1+(n-1)d,则bn+1 bn+2cn+1=bnbn+1cn=b1b2c1=1+d,故cn=.于是c1+cn=1+,得证.本课结束
