1、9.4 向 量 应 用必备知识自主学习1.用向量方法解决平面几何问题(1)“三步曲”:建立平面几何与向量的联系,用_表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_;通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如_、_等问题;把运算结果“翻译”成_.导思1.用向量方法解决平面几何问题的基本步骤是什么?2.向量在物理中有哪些应用?向量向量问题距离夹角几何关系(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.(3)应用(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2):证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:aba=b(b0)x1y2-x2y1=0;证明垂直问题,常用数量积的运算
2、性质:abab=0 x1x2+y1y2=0;求夹角问题,用夹角公式:cos=(为a与b的夹角);计算线段长度,常用模长公式:|AB|=【思考】联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?提示:两种思路:一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.2.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有_等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的_和_中.(3)动量mv是向量的_运算.(4)功是_与_的数量积.力、速度、位移合成分解数乘力F位移s【
3、基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)若ABC是直角三角形,则有=0.()(2)若则直线AB与CD平行.()(3)求力F1和F2的合力可利用向量加法的平行四边形法则.()2.若平面四边形ABCD满足则该四边形一定是()A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形3.(教材二次开发:练习改编)在平面直角坐标系中,力F=(2,3)作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力F对物体作的功为_.【解析】根据题意,力F对物体作的功为W=F =(2,3)(4-2,0-0)=22+30=4.答案:4关键能力合作学习类型一 向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)【典例
4、】1.已知点O,P在ABC所在平面内,且则点O,P依次是ABC的()A.重心,垂心 B.重心,内心C.外心,垂心D.外心,内心2.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.【思路导引】1.注意三角形的外心到三个顶点距离相等、内心到三边距离相等、垂心是高所在直线的交点、重心是中线的交点.2.建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算证明【变式探究】若典例1改为:若O是ABC内一点,则O为ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心【解题策略】利用向量证明问题(1)常见的利用向量证明的问题.利用向量共
5、线定理证明线段平行或点共线;利用向量的模证明线段相等;利用向量的数量积为0证明线段垂直.(2)常用的两个方法.基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.【跟踪训练】在直角梯形ABCD中,ABCD,CDA=DAB=90,CD=DA=AB,求证:ACBC.【补偿训练】已知ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.类型二 向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)【典例】如图所示,在矩形ABCD中,AB=,B
6、C=3,BEAC,垂足为E,求ED的长.【解题策略】1.用向量方法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|=2.向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.【跟踪训练】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.【补偿训练】如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.类型三 向量在物理中的应用(数学建模)角度1 矢量分解合成问题【典例】如图,用两根分别长5米和10米的绳子,将100 N的物体吊在
7、水平屋顶AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【思路导引】画图分析A处所受力,B处所受力,物体的重力这三个力的关系.角度2 做功问题【典例】已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02 的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)【思路导引】解答本题首先要确定摩擦力f的大小及其与位移所成的角,然后利用向量数量积运算求值.【解题策略】用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使
8、问题解决;(3)结果还原为物理问题.【题组训练】1.若物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体所做的功W为()A.lg 2B.lg 5C.1D.2【解析】选D.W=(F1+F2)s=(lg 2+lg 5,2lg 2)(2lg 5,1)=(1,2lg 2)(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.2.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为v1,水速为v2,则船行到B处时,行驶速度的大小为()【补偿训练】如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45的方向移动了8
9、 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30;|F2|=4 N,方向为北偏东60;|F3|=6 N,方向为北偏西30,求合力F所做的功.1.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60角,当小车向前运动10米,则力F做的功为()A.100焦耳B.50焦耳C.50焦耳D.200焦耳【解析】选B.设小车的位移为s,则|s|=10米,WF=Fs=|F|s|cos 60=1010=50(焦耳).课堂检测素养达标2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【解析】选A.由题意得=(3,3),=(2,2),所以所以四边形为梯形.3.在ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是()【解析】选B.BC中点为4.某人从点O向正东走30 m到达点A,再向正北走30 m到达点B,则此人的位移的大小是_m,方向是北偏东_.5.(教材二次开发:练习改编)如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求EMF.
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