1、2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的几何性质思考观察下列图形，思考以下问题：观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？答案抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心梳理标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质范围x
2、0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)焦点准线xxyy离心率e1知识点二焦点弦的性质如图，AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切(2)|AB|2(焦点弦长与中点关系)(3)|AB|x1x2p.(4)若直线AB的倾斜角为，则|AB|.如当90时，AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2.1抛物线关于顶点对称()2抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()3抛物线的标
3、准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()类型一抛物线几何性质的应用例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F，直线l：x，所以A，B两点坐标为，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以|2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2 B4p2 C2p2 Dp2答案B解析因为抛物线的对
4、称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及
5、对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0)因为点P到对称轴距离为6，所以y06.因为点P到准线距离为10，所以10.因为点P在抛物线上，所以362ax0，由，得或或或所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.类型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长解因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y，得x25x0.设A(x1，y1)
6、，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.引申探究1若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值解直线l的方程为x，联立解得或所以|AB|3(3)6.2若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“|AB|9”，求线段AB的中点M到准线的距离解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2px1x23，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以点M到准线的距离为3.反思与感悟(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化
7、为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论跟踪训练2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程考点抛物线的焦点弦问题题点知抛物线焦点弦长求方程解由题意可知，焦点F.设A(x1，y1)，B(x2，y2)若ABx轴，则|AB|2pp，不合题意，故直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk.联立消去x，整理得ky22pykp20.则y1y2，y1y2p2.|AB|2pp，解得k2，AB所在直线方程为y2或y2.类型三与抛物线有关的最值问题例3设P是抛物线y2
8、4x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF|的最小值考点抛物线的定义题点由抛物线定义求最值解(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为，即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为.(2)如图，把点B的横坐标代入y24x中，得y2.因为22，所以
9、点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值为4.反思与感悟解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等跟踪训练3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3 C. D.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求最值答案
10、A解析由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即d2.1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案C解析设抛物线y22px或y22px(p0)，依题意得x或x，分别代入y22px和y22px，得|y|p
11、，2|y|2p8，p4.即抛物线方程为y28x.2抛物线yax2(a0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|PQ|等于()A4p B5pC6p D8p考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长答案A解析由焦点弦公式|PQ|x1x2p，又x1x23p，|PQ|4p.4已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.考点抛物线的焦点弦问题题点知抛物线焦点弦长求方程答案2解析直线AB的方程为yx，由消去y，得x23px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x23p，|AB|x1x2p4
12、p8，p2.5.如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)由题意知A(，1)，设抛物线方程为y22px(p0)，将x，y1，代入得p，所求抛物线方程为y2x.(2)抛物线的准线方程为x，焦点坐标为，离心率e1.1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用一、选择题1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在
13、原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211x By211xCy222x Dy222x考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案D解析在方程2x4y110中，令y0得x，抛物线的焦点为F，即，p11，抛物线的方程是y222x.2已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为()A2 B1C. D.考点抛物线的几何性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案A解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2.3抛物线C1：y22x的焦点为F1，抛物线C2：x2y的焦
14、点为F2，则过F1且与直线F1F2垂直的直线l的方程为()A2xy10B2xy10C4xy20D4x3y20考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案C解析由题意知，F1，F2.所以直线F1F2的斜率为，则直线l的斜率为4.故直线l的方程为y4，即4xy20.4过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|10，则抛物线方程是()Ay28x By22xCy26x Dy24x考点抛物线的焦点弦问题题点知抛物线焦点弦长求方程答案A解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，抛物线方
15、程为y28x.5在同一直角坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致是()考点抛物线的几何性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案D解析a2x2b2y21其标准方程为1，因为ab0，所以0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值是()A4 B4 Cp2 Dp2考点抛物线的焦点弦问题题点与焦点弦有关的其他问题答案B解析采用特例法当直线与x轴垂直时，易得A，B，4.7已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2考点抛物线的焦点弦
16、问题题点与焦点弦有关的其他问题答案A解析抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy.代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系，得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.8已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8 C16 D32考点抛物线的定义题点抛物线定义的其他应用答案B解析易知F(2,0)，K(2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|AF|.|AK|AM|，AMK为等腰直角三角形设A(m2,2m)(m0)，则A
17、FK的面积S2m44m.又由|AK|AM|，得(m22)28m22(m22)2，解得m.AFK的面积S4m8.二、填空题9设抛物线y216x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案13解析设P(x,12)，代入y216x，得x9，|PF|x9413.10抛物线yx2的焦点与双曲线1的上焦点重合，则m_.考点抛物线的几何性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案13解析抛物线yx2可化为x216y，则其焦点为(0,4)，3m16，则m13.11已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，则这条抛物线
18、的方程为_考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案y23x解析由题意设抛物线方程为y2ax(a0)，当a0时，弦的端点坐标为(1，)代入抛物线方程得y23x，同理当a0)，A(x0，y0)，由题知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.四、探究与拓展14.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|2|BF|且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay23xBy29xCy2xDy2x考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案A解析作AM，BN分别垂直准
19、线于点M，N，则|BN|BF|，|AM|AF|.又|BC|2|BF|，得|BC|2|BN|，NCB30，|AC|2|AM|2|AF|6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|x，则2xx36，得x1，而x13，x21，且x1x2，p，得抛物线方程为y23x.15已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值考点抛物线的几何性质题点转化为函数关系的最值问题解(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)(x0)，则|PA|22y222x2.设f(x)2，因为x0，所以在此区间上函数f(x)单调递增，故当x0时，|PA|min，故距离点A最近的点的坐标为(0,0)，此时，|PA|.(2)设点P(x0，y0)是y22x上任一点，则P到直线xy30的距离为d，当y01时，dmin，所以点P的坐标为.
