1、8.2.3 倍 角 公 式基础预习初探1.回顾和角的正弦、余弦、正切公式:(1)sin(+)=_;(2)cos(+)=_;(3)tan(+)=_.sin cos+cos sin cos cos-sin sin 2.如何由cos 30=,求cos 15?提示:由cos 30=,得cos215-sin215=,又cos215+sin215=1,所以得2cos215=1+,cos215=所以cos 15=【概念生成】倍角公式:记法公式S2sin 2=_C2cos 2=_T2tan 2=_ 2sin cos cos2-sin2核心互动探究探究点一 利用倍角公式化简或证明【典例1】(1)已知是第二象限角
2、,化简(2)已知=1,求证:3sin 2=-4cos 2.【思维导引】(1)在去根号时,对的符号加以讨论.(2)由=1求出tan,再将3sin 2及-4cos 2利用二倍角公式展开即可.【解析】(1)原式=因为是第二象限角,即2k+2k+,kZ,所以k+k+,kZ,所以原式=(2)因为=1,所以tan=-,即2sin+cos=0.要证3sin 2=-4cos 2,只需证6sin cos=-4(cos2-sin2).只需证2sin2-3sin cos-2cos2=0,只需证(2sin+cos)(sin-2cos)=0,而2sin+cos=0,所以(2sin+cos)(sin-2cos)=0显然成
3、立.所以原结论成立.【类题通法】证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤:观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.提醒:三角恒等式的证明或化简,要注意整体角的代换.【定向训练】已知tan(+)=3tan,求证:2sin 2-sin 2=sin(2+2).【证明】tan(+)=3tan,可变为sin(+)cos=3sin cos(+)sin(+
4、)cos-sin cos(+)=2sin cos(+)sin(+)-=2sin(cos cos-sin sin)sin=2sin cos cos-2sin2sin(1+2sin2)sin=sin 2cos.当cos=0时,上式中因为1+2sin20,所以sin=0,矛盾.所以cos 0,上式两边同乘2cos,得(1+2sin2)sin 2=2sin 2cos2sin 2+(1-cos 2)sin 2=sin 2(1+cos 2)2sin 2-sin 2=sin 2cos 2+cos 2sin 2=sin(2+2),所以等式成立,即得证.【补偿训练】1.化简:(1)(2)【解析】(1)原式=ta
5、n 2.(2)原式=2.证明:sin3sin 3+cos3cos 3=cos32.【证明】左边=sin2sin sin 3+cos2cos cos 3=sin sin 3+cos cos 3=(sin sin 3+cos cos 3)+cos 2(-sin sin 3+cos cos 3)=cos(-3)+cos 2cos(3+)=cos 2+cos 2cos 4=cos 2(1+cos 4)=cos 22cos22=cos32=右边.探究点二 利用倍角公式求值【典例2】(1)已知满足sin=,则cos 2=()(2)已知tan=2.求tan 2的值.求的值.【思维导引】(1)利用二倍角的正弦
6、公式计算.(2)利用二倍角的正弦、余弦、正切公式计算.【解析】(1)选A.因为sin=,所以cos 2=1-2sin2=.(2)tan 2=【类题通法】利用二倍角公式的三个注意点1.看倍角:灵活确定二倍角的关系,如2是的二倍,4是2的二倍,是的二倍,是的二倍等.与,注意整体角的代换.2.看结构:掌握二倍角公式S2、C2、T2中名称和结构的特点,如系数、次数等.3.看条件:公式T2中,2都不能为+k,kZ.【定向训练】1.已知sin x-cos x=,则sin 2x=.【解析】因为sin x-cos x=,所以sin2x+cos2x-2sin xcos x=,化为1-sin 2x=,得sin 2
7、x=.答案:2.(2020浙江高考)已知tan=2,则cos 2=;tan =.【解析】cos 2=cos2-sin2=答案:3.已知=3,计算的值.【解析】因为=3,所以【补偿训练】已知(1)求tan 的值.(2)求的值.【解析】(1)因为tan 所以所以2+2tan=1-tan,得tan=-,所以(2)探究点三 倍角公式的综合问题【典例3】(1)若是第二象限角,且25sin2+sin-24=0,则cos =.(2)如图,在半径为4(单位:cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为(单位:cm2).【思维导
8、引】(1)逆用二倍角公式化简计算.(2)方法一:设BOC=,利用三角函数定义表示矩形的邻边,逆用二倍角的正弦公式,求三角函数的最大值.方法二:可以设BC=x,连接OC,求出OB,得到矩形ABCD面积表达式,然后利用均值不等式求出函数的最值即可.【解析】(1)由25sin2+sin-24=0,又是第二象限角,得sin=或sin=-1(舍去).故cos=,由又是第一、三象限角,所以答案:(2)方法一:连接OC,设BOC=,则BC=rsin=4sin,AB=2rcos=8cos,矩形ABCD的面积为S=ABBC=32sin cos=16sin 216,2(0,),当且仅当=时,Smax=16.方法二
9、:设BC=x,连接OC,得OB=,所以AB=,所以矩形ABCD面积S=2x ,x(0,4),S=2x =2 x2+16-x2=16.当且仅当x2=16-x2,即x=2 时取等号,此时Smax=16.答案:16【类题通法】二倍角公式的灵活应用技巧1.由二倍角的三角函数左右恒等的结构特点,灵活地对公式进行正用和逆用,是计算或化简三角函数式的关键.2.明确二倍角的正弦余弦以及正切公式中的常数“2”,次数“2”,掌握三角函数的名称差异和运算类型.3.注意单角与二倍角2、以及单角与半角的二倍关系,化简二倍角的三角函数式,要形成“整体角”意识,代换法是常用的解题技巧.【定向训练】1.计算=()【解析】选D.2.计算:【解析】方法一:方法二:【课堂小结】课堂素养达标1.计算cos215-sin215等于()【解析】选B.由二倍角的余弦公式,得cos215-sin215=cos 30=.2.化简的结果为()A.sin B.2sin C.sinD.2sin 【解析】选A.3.若tan=,则tan 2=()【解析】选A.tan 2=4.函数f(x)=2cos2x-1的最小正周期为,最大值为.【解析】f(x)=2cos2x-1=cos 2x,所以函数的最小正周期为,最大值为1.答案:1
