1、7.2.4 诱导公式(二)基础预习初探观察如图单位圆及角与-的终边.1.角的终边与-的终边有何关系?提示:它们的终边关于y=x对称.2.若设任意角的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),那么角-的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么?提示:由于角的终边与角-的终边关于y=x对称,所以P2与P1关于y=x对称,所以P2点的坐标为(y,x).3.结合问题1,2思考-与的正弦、余弦值有何关系?提示:sin=cos,cos=sin.4.你能利用sin=cos,cos=sin 推导出sin与cos,cos与sin 的关系式吗?提示:sin=cos(-)=cos,cos=cos=sin(-)=-sin.
2、【概念生成】1.诱导公式sin =_,cos =_.2.诱导公式sin =_,cos =_.3.诱导公式sin =_,cos =_.cos sin cos-sin-cos sin 4.诱导公式cos =_,sin =_.-sin-cos【特别提醒】1.对诱导公式的两点说明(1)诱导公式反映的是角与、与的三角函数值之间的关系.可借用口诀“函数名改变,符号看象限”来记忆.(2)诱导公式是三角变换的基本公式,其中角可以是一个单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握,灵活变通.2.对诱导公式的两点说明(1)诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系.(2)公式的记忆口诀和说明.
3、口诀:奇变偶不变,符号看象限.说明:核心互动探究探究点一 利用诱导公式求值【典例1】(1)已知cos(+)=-,为第一象限角,求cos的值.(2)已知sin ,求cos的值.【思维导引】(1)先用诱导公式化简cos(+)=-cos,得出cos=.再化简cos =-sin.根据平方关系求值.(2)利用+=及诱导公式cos =sin 求解.【解析】(1)因为cos(+)=-cos=-,所以cos=,又为第一象限角.则cos =-sin=-(2)cos =cos=sin .【类题通法】1.求值问题中角的转化方法合理选择恰当的诱导公式,使求值式中的有关三角函数能有效转化为可求或可与已知条件联系.2.解
4、答此类问题要学会发现角之间的互余、互补关系如-与+,+与-,-与+等互余,+与-,+与-等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题.【定向训练】1.已知sin=,则cos等于()A.B.-C.D.-【解析】选A.cos =sin=.2.已知是第二象限角,且cos ,则cos=()A.-B.-C.D.【解析】选A.因为cos ,由诱导公式可得,sin=.因为sin2+cos2=1,是第二象限角,所以探究点二 利用诱导公式进行化简、求值【典例2】已知是第三象限角,(1)若cos ,求f()的值.(2)若=-1 920,求f()的值.【思维导引】若f()的表达式很烦琐,可
5、先化简再代入求值.【解析】(1)因为所以sin=-,因为为第三象限角,所以cos=-,所以f()=-cos=.(2)因为-1 920=-5360-120,所以f(-1 920)=-cos(-5360-120)=-cos 120=cos 60=.【类题通法】三角函数式化简的方法和技巧(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,据此灵活应用相关的公式及变形解决问题.(2)技巧:异名化同名;异角化同角;切化弦.【定向训练】已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则等于多少?【解析】由题意可得tan=3,所以探究点三 利用诱导公式证明恒等式【
6、典例3】求证:【思维导引】【证明】左边右边,所以等式成立.【类题通法】三角函数恒等式证明的方法和技巧(1)三角恒等式的三种证法(2)技巧:异名化同名;异角化同角;切化弦.【定向训练】求证:【证明】左边=右边,故原式得证.【课堂小结】课堂素养达标1.如果cos(+A)=-,那么sin 的值是()A.-B.C.-D.【解析】选D.因为cos(+A)=-,所以cos A=,所以sin =cos A=.2.若cos 65=a,则sin 25的值是()A.-aB.aC.D.-【解析】选B.sin 25=sin(90-65)=cos 65=a.3.若则角的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为sin =-cos 0,所以cos 0,所以为第二象限角.4.若是三角形内角,且sin =-sin ,则=.【解析】因为sin =cos=-,又因为(0,),所以=.答案:5.化简:【解析】原式
