1、9.2.3 总体集中趋势的估计9.2.4 总体离散程度的估计 基础预习初探1.回顾初中学习的众数、中位数、平均数,思考下列问题:(1)众数是一组数据中出现次数最多的数,在频率分布直方图中,众数应出现在哪个位置?提示:在频率分布直方图中,众数应该出现在最大的那一组中,它是最高的矩形的中点.(2)在频率分布直方图中,中位数应出现在哪个位置?提示:在频率分布直方图中,中位数左边和右边直方图的面积应该相等.(3)在频率分布直方图中,平均数是如何估计的?提示:在频率分布直方图中,平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.2.通过预习教材,回答下列问题:(1)如何考
2、查样本数据的分散程度?提示:最常用的统计量是样本数据的方差与标准差.(2)样本数据的分散程度是计算样本数据的什么值?提示:样本数据的分散程度是样本数据到平均数的平均距离.【概念生成】1.对众数、中位数、平均数的理解(1)众数:在一组数据中,出现次数_的数据叫做这一组数据的众数.(2)中位数:将一组数据按_依次排列,把处在_位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数:假设样本数据是x1,x2,xn,表示这组数据的平均数,则=_.最多大小最中间2.对标准差、方差的理解(1)标准差:标准差是样本数据到平均数的一种_,一般用s表示,s=_.(2)方差:标准差的平方s2叫做方
3、差.s2=_.平均距离核心互动探究探究点一 众数、中位数、平均数的应用【典例1】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征?(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征?【思维导引】结合平均数、中位数和众数的概念计算分析.【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为15岁,众数为15岁.平均数
4、、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.(2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.【类题通法】中位数的求法(1)当数据个数为奇数时,中位数是按大小顺序排列的中间那个数.(2)当数据个数为偶数时,中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.提醒:数据特征的分析如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所
5、以,应当深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点,并结合实际情况,灵活应用.【定向训练】下面是某快餐店所有工作人员一月的收入表:老板大厨二厨采购员杂工服务生会计30 000元4 500元3 500元4 000元3 200元3 200元4 100元计算所有人员的月平均收入.这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗?为什么?去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的月收入的一般水平吗?【解析】月平均收入(30 000+4 500+3 500+4 000+3 200+3 200+4 100)=7 500(元).这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平,可以看出打工人员
6、的收入都低于平均收入,但是老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的影响,并且他不是打工人员.去掉老板的收入后的月平均收入(4 500+3 500+4 000+3 200+3 200+4 100)=3 750(元).这能代表打工人员的月收入的一般水平.【补偿训练】10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有()A.abcB.bcaC.cabD.cba【解析】选D.将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,则平均数a=(10+12+142+152+1
7、6+173)=14.7,中位数b=15,众数c=17,显然ab0.5,所以中位数应约位于第四个小矩形内.设其底边为x,高为0.03,令0.03x=0.2得x6.7,故中位数应约为70+6.7=76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均值,取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.所以平均成绩为45(0.00410)+55(0.00610)+65(0.0210)+75(0.0310)+85(0.02110)+95(0.01610)=73.65.【课堂小结】课堂素养达标1.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人
8、,85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A.85分、85分、85分 B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分【解析】选C.从小到大列出所有数学成绩(单位:分):75,80,85,85,85,85,90,90,95,100,观察知众数和中位数均为85分,计算得平均数为87分.2.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有()A.s3s1s2B.s2s1s3C.s1s2s3D.s3s2s1【解析】选D.所给
9、图是成绩分布图,平均分是75分,在图1中,集中在75分附近的数据最多,图3中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3s2s1.3.(2020全国卷)设一组样本数据x1,x2,xn的方差为0.01,则数据10 x1,10 x2,10 xn的方差为()A.0.01B.0.1C.1D.10【解析】选C.因为数据axi+b(i=1,2,n)的方差是数据xi(i=1,2,n)的方差的a2倍,所以所求数据方差为1020.01=1.【补偿训练】某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手五次射击的成绩的方
10、差是()A.0.127B.0.016C.0.08D.0.216【解析】选B.(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2=(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.4.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为,则xy=_.【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()25=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,所以xy=96.答案:96
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有