1、8.5.2 直线与平面平行基础预习初探1.如图,将课本ABCD的一边AB紧贴桌面,把课本绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在内)和平面有何位置关系?提示:因为没有公共点,所以CD.2.如图,平面外的直线a平行于平面内的直线b,这两条直线共面吗?直线a与平面相交吗?提示:直线a,b共面,直线a与平面不相交.3.如果直线a与平面平行(1)直线a与平面内的直线的位置关系是怎样的?提示:平行或者异面.(2)在平面内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?提示:在平面内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.(3)经过直线a的平面与平面相交于直线b,那么这样的平面有多少个?
2、直线a,b的位置关系如何?为什么?提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.因为直线a平面,所以直线a与平面内的任何直线无公共点,又因为a,b共面,所以ab.【概念生成】1.直线与平面平行的判定定理2.直线与平面平行的性质定理核心互动探究探究点一 直线与平面平行的判定定理【典例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点.求证:EF平面AD1G.【思维导引】根据直线与平面平行的判定定理进行证明.【证明】连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点知,EFBC1.又ABA1B1D1C1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以BC1AD1,
3、所以EFAD1.又EF平面AD1G,AD1平面AD1G,所以EF平面AD1G.【类题通法】(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.把握几何体的结构特征,合理利用几何体中的三角形的中位线,平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用方法.(2)用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤:【定向训练】1.已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,E,F,G分别为PA,PD,CD的中点,则BC与平面EFG的位置关系为_.【解析】如图,由于E,F分别为PA,PD的中点,可得EFAD,又ABCD为平行四边形,ADBC,可得BCEF,又EF平面EFG,B
4、C平面EFG,可得BC平面EFG.答案:平行2.如图,四棱锥P-ABCD中,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.证明:MN平面PAB.【证明】由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TNAM,TN=AM,所以四边形AMNT为平行四边形,所以MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.3.如图,P是ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF平面PEC.【证明】设PC的中点为G,连接EG,FG.因为F为PD的中点,所以GF
5、CD,且GF=CD.因为ABCD,AB=CD,E为AB的中点,所以GFAE,GF=AE,所以四边形AEGF为平行四边形,所以EGAF.又因为AF平面PEC,EG平面PEC,所以AF平面PEC.【补偿训练】如图,EBDC,EB=2DC,P,Q分别为AE,AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是_.【解析】连接CQ,在ABE中,因为P,Q分别是AE,AB的中点,所以PQEB.又DCEB,所以PQDC,所以四边形DPQC为平行四边形,所以DPCQ.又因为DP平面ABC,CQ平面ABC,所以DP平面ABC.答案:平行探究点二 直线与平面平行的性质定理【典例2】如图,用平行于四面体ABCD的一组对
6、棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.【思维导引】根据已知AB平面MNPQ,CD平面MNPQ,由线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.【证明】因为AB平面MNPQ,平面ABC平面MNPQ=MN,且AB平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知ABMN.同理,ABPQ,所以MNPQ.同理可得MQNP.所以截面MNPQ是平行四边形.【类题通法】线面平行的性质定理的解题步骤与思路(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.【知识
7、延拓】1.若本例条件不变,求证:【证明】由例题知:PQAB,所以因为QMDC,所以所以2.若本例中添加条件:ABCD,AB=10,CD=8,且BPPD=11,求四边形MNPQ的面积.【解析】由例题知,四边形MNPQ是平行四边形,因为ABCD,所以PQQM,所以四边形MNPQ是矩形.因为BPPD=11,所以PQ=5,QM=4,所以四边形MNPQ的面积为54=20.【定向训练】证明:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行.【解析】已知:直线a平面AC,直线a平面CE,平面AC平面CE=b,求证:ab.解:方法一:如图,过直线a任意作两个平面,与平面AC和CE分别交于直
8、线c,d.因为直线a平面AC,直线a平面CE,所以ac,ad.所以cd.因为c平面CE,d平面CE,所以c平面CE.因为c平面AC,平面AC平面CE=b,所以cb.又因为ac,所以ab.方法二:在平面AC与平面CE的交线b上任取一点A,则Ab,所以点A与直线a可确定平面.设平面平面CE=b1,平面平面AC=b2.则Ab1,Ab2.因为直线a平面AC,直线a平面CE,所以ab1,ab2.所以b1b2,又b1b2=A,故b1与b2重合,则b1(b2)既在平面AC内,又在平面CE内,即b1(b2)为平面AC,平面CE的交线,而两个平面相交只有一条交线.所以b1(b2)与b重合,所以ab.探究点三 线
9、面平行的综合应用【典例3】如图所示,已知P是ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PBC平面PAD=l.(1)求证:lBC;(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.【思维导引】联合运用线面平行的判定及性质定理.【解析】(1)因为BCAD,BC平面PAD,AD平面PAD,所以BC平面PAD.又因为平面PBC平面PAD=l,且BC平面PBC,所以BCl.(2)平行.证明如下:取PD的中点E,连接AE,NE,可以证得NEAM且NE=AM,所以四边形MNEA是平行四边形,所以MNAE.又AE平面PAD,MN平面PAD,所以MN平面PAD.【类题通法】判定定理与性质定理常常交
10、替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链.【知识延拓】与线面平行相关的“有且只有”命题的证明方法:典型例题:求证过两条异面直线中的一条,有且仅有一个平面和另一条直线平行.【解析】已知:a,b为异面直线.求证:过b有且只有一个平面和a平行.(存在性)如图,在直线b上任取一点A,过A作直线la,那么l和b是相交直线,它们确定一个平面.因为b,a和b是异面直线,所以a.又al,l,所以a(线面平行的判定定理),所以经过b有一个平面和a平行.(唯一性)如果平面是过b且与直线a平行的另一个平面,那么直线b上的A和直线a可以确定一个平
11、面.根据线面平行的性质定理知,平面,的交线与直线a平行,但是经过A只能有直线a的一条平行线,所以这条交线就是l.因此,平面必定是直线l和b所确定的平面,即平面与平面重合,所以过b只有一个平面和直线a平行.由存在性和唯一性的证明可得:过直线b有且只有一个平面和直线a平行.【类题通法】(1)“有”即“存在”;“只有”即“唯一”.此类问题的论证既要证明存在性又要证明唯一性.(2)存在性的证明只需找到或作出满足题设条件的事物即可.(3)对唯一性的证明,可采用“反证法”,也可采用“同一法”,同一法和反证法一样,是一种间接证法.一般来说,一个命题,如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的,那么,原命题和它的
12、逆命题中,只要有一个成立,另一个就一定成立,这个道理就叫做“同一法则”.在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而改证它的逆命题的这种方法,叫同一法.同一法的一般证明过程是:不从已知条件入手,而另作图形使它具有求证结论中所提到的特性;证明所作图形的特征和已知条件符合;因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的,从而推断所作图形与已知条件要求的是同一图形,由此判定原命题成立.【定向训练】如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点PBB1(P不与B,B1重合),PAA1B=M,PCBC1=N,连接MN.求证:MN平面ABCD.【证明】连接AC,A1C1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA
13、1CC1,AA1=CC1,所以四边形ACC1A1是平行四边形,所以ACA1C1,因为AC平面A1BC1,A1C1平面A1BC1,所以AC平面A1BC1,因为AC平面PAC,平面A1BC1平面PAC=MN,所以ACMN.因为MN平面ABCD,AC平面ABCD,所以MN平面ABCD.【课堂小结】课堂素养达标1.如果两直线ab,且a,则b与的位置关系是()A.相交 B.bC.bD.b或b【解析】选D.由ab,且a,知b与平行或b.2.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面(不与平面ABB1A1重合)与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以
14、上均有可能【解析】选B.因为A1B1AB,AB平面ABC,A1B1平面ABC,所以A1B1平面ABC.又A1B1平面A1B1ED,平面A1B1ED平面ABC=DE,所以DEA1B1.又ABA1B1,所以DEAB.3.过平面外的直线l,作一组平面与相交,如果所得的交线为a,b,c,则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交不一定交于同一点D.平行或相交于同一点【解析】选D.当直线l与平面平行时,abc,当直线l与平面相交时,设l=O,则a,b,c,相交于同一点O.4.(1)如图四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件_时,SC平面
15、EBD;(2)如图,在棱长为1的正方体ABCDABCD中,AP=BQ=x(0 x1),截面PQEFAD,截面PQGHAD,则截面PQEF和截面PQGH面积之和为_.【解析】(1)因为SC平面EBD,SC平面SAC,平面SAC平面EBD=OE,所以SCOE,又因为底面ABCD为平行四边形,O为对角线AC与BD的交点,故O为AC的中点,所以E为SA的中点,故当E满足条件:SE=AE时,SC平面EBD.答案:SE=AE(2)因为平面PQEFAD,平面PQEF平面AADD=PF,所以ADPF,同理可得PHAD,因为AP=BQ=x,APBQ,所以四边形APQB是平行四边形,所以PQAB,因为在正方体中,ADAD,ADAB,所以PHPF,PHPQ,截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,PF=AP,PH=PA,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是(AP+PA)PQ=.答案:
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