1、第七章复 数7.1 复数的概念7.1.1 数系的扩充和复数的概念基础预习初探1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类:(1)方程x2-2x-3=0的正整数解是_,有理数解是_,实数解是_.(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是_,实数解是_.33,-13,-12.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解?提示:因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解.(2)为了解决此类方程无实数解的问题,我们引入新数i,定义ii=i2=-1,将实数集加以扩充,得到一个新的数集,那么此方程在这个数集中就有一个解为_.i3.(1)复数a+bi(a,bR)何时表示零?提示:当且仅当a=b=0
2、时表示零.(2)实数集R与复数集C有什么关系?提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即R C.用图形语言描述:【概念生成】1.数系的扩充与复数的概念:(1)复数的定义形如_的数叫做复数,其中i叫做_,满足i2=_,全体复数所构成的集合C叫做_.a+bi(a,bR)虚数单位-1复数集(2)复数的表示复数通常用字母z表示,即z=_,这一表示形式叫做复数的_,a与b分别叫做复数z的_与_.(3)复数相等设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di_.a+bi(a,bR)代数形式实部虚部a=c且b=d2.复数的分类与数系表核心互动探究探究点一 复数的有关概念与表示【典例1】1.下列复数
3、中虚数的个数为()1+2i,1+2i2,2i+,i.A.1B.2C.3D.42.已知虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,则实数a,b满足的条件是_.【思维导引】1.利用复数的概念进行判断.2.根据复数的概念与表示复数的实部+虚部=0.【解析】1.选C.1+2i,i,2i+是虚数,1+2i2=-1是实数.2.虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,得(a+b)+(a-b)=0,得a=0,bR,且b0.所以实数a,b满足的条件是a=0,bR,且b0.答案:a=0,bR,且b0【类题通法】判断与复数有关的命题是否正确的策略(1)复数的代数形式:若z=a+bi,
4、只有当a,bR时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.【定向训练】1.(2020浙江高考)已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.2.已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是_.【解析】由题意得:a
5、-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.答案:3,3探究点二 复数的分类与参数问题【典例2】1.已知xR,复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,则z=_.2.已知mR,复数z=,当m为何值时,z分别满足下列条件?(1)zR;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.【思维导引】【解析】1.由于复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,则实数x满足,解得x=1,所以z=2i.答案:2i2.复数z=,mR.(1)由zR,得解得m=-3.(2)由z是虚数,得m2+2m-30且m-10,解得m1且m-3.(3)由z是纯虚数,得解得m=0或m=-2.【类题通法】1.解决复数分类问题的方法与步骤(
6、1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,bR),z为实数b=0;z为虚数b0;z为纯虚数a=0且b0.2.复数分类的应用(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验证是很必要的.(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一
7、个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.【定向训练】1.“m=1”是“复数z=(m2+m-2)+(m2-m)i为实数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.先求“复数z=(m2+m-2)+(m2-m)i为实数”的充要条件,即m2-m=0,解得m=0或m=1,所以“m=1”是“复数z=(m2+m-2)+(m2-m)i为实数”的充分不必要条件.2.已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,当实数m取什么值时,复数z是(1)零;(2)纯虚数.【解析】(1)因为z是零,所以解得m=1.(2)因为z是纯
8、虚数,所以解得m=0.综上,当m=1时,z是零;当m=0时,z是纯虚数.【补偿训练】下列复数中,实数为_,虚数为_,纯虚数为_.(将序号填在相应的横线上)1+2i;1-2i2;-3i;2i-3;1+0i;cos+isin.【解析】1+2i,-3i,2i-3是虚数;-3i是纯虚数;1-2i2=3,1+0i=1,cos+isin=-1,都是实数.答案:探究点三 复数相等及其应用【典例3】1.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为()A.1B.1或-4C.-4D.0或-42.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实数根.【思维导引】1.根据复数
9、相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a的值.2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,bR)的形式解决.【解析】1.选C.由题意知解得a=-4.2.设a是原方程的实数根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以,所以m=.所以m=,方程的实数根为x=-.【类题通法】复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求参数的解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如
10、果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个复数不能比较大小.【定向训练】已知为三角形的内角,复数z1=sin 2-icos,z2=cos+i sin,若z1=z2,则=_.【解析】依题意,得即显然cos 0,所以又为三角形的内角,所以=.答案:【补偿训练】求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中xR,yR.【解析】由复数相等的充要条件可知解得【课堂小结】课堂素养达标1.若集合A=-1,0,1,i,i是虚数单位,则()A.iAB.i2AC.1+iAD.2iA【解析】选B.由于集合A=-1,0,1,i,i是虚数单位,则iA,i2=-1A,1+iA,2iA.2.下列命题中,正确
11、命题的个数是()若x,yC,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;若a,bR且ab,则a+ib+i;若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.由于x,yC,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,是假命题.由于两个虚数不能比较大小,所以是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以是假命题.3.已知x是方程x2=-1的解,则1+x=()A.1+iB.1-iC.1iD.0【解析】选C.由x2=-1,可知x=i,所以1+x=1i.4.(2020常州高一检测)若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,当实数m为何值时.(1)z是实数;(2)z是纯虚数;【解析】(1)由题意可得m2-m-2=0,解得m=-1或2;(2)由题意可得:m2+m-6=0,且m2-m-20,所以m=2或-3,且m-1且m2,所以m=-3.
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