1、10.2 事件的相互独立性基础预习初探1.如果事件A与事件B相互独立,那么事件A与,与B,与是否相互独立?2.两个相互独立事件A,B同时发生的概率P(AB)是多少呢?继续探究:(1)3张奖券只有1张能中奖,3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”,事件A的发生是否会影响B发生的概率?提示:因抽取是有放回地,所以A的发生不会影响B发生的概率,事件A和事件B相互独立.(2)互斥事件与相互独立事件有什么区别?提示:两个事件相互独立与互斥的区别:两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没
2、有影响.【概念生成】1.相互独立事件的概率对任意两个事件A,B,如果P(AB)=_成立,则称事件A与事件B相互独立.简称独立.2.相互独立事件的性质如果事件A与B是相互独立事件,则A与,与B,与也_.P(A)P(B)相互独立核心互动探究探究点一 事件相互独立性的判定【典例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件.(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;(2)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;(3)掷一颗
3、骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.【思维导引】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断.(2)计算“从8个球中任取一球是白球”的概率,再计算“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率,由两概率是否相同进行判断.(3)利用事件的独立性定义式判断.【解析】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一
4、事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.(3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A=2,4,6,B=3,6,AB=6,所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=.所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立.【类题通法】判断两个事件独立性的方法(1)利用相互独立事件的定义:即P(AB)=P(A)P(B),可以准确地判断两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法,较准确.(2)从定性的角度进行分析:看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.【定向训练】从一副拿走了大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,设A=“抽得老K”,
5、B=“抽得红牌”,判断事件A与B是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?【解析】由于事件A为“抽得老K”,事件B为“抽得红牌”,故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到老K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件.抽到老K的概率为P(A)=,抽到红牌的概率为P(B)=,故P(A)P(B)=,事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”,亦即“抽得红桃老K或方块老K”,故P(AB)=,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B互为独立事件.【补偿训练】一个袋子中有4个小球,其中2个白球,2个红球,讨论下列A,B事件的相互独立性与互斥性.(1)A:取一个球为红球,
6、B:取出的红球放回后,再从中取一球为白球.(2)从袋中取2个球,A:取出的两球为一白球一红球;B:取出的两球中至少一个白球.【解析】(1)由于取出的红球放回,故事件A与B的发生互不影响,所以A与B相互独立,A,B能同时发生,不是互斥事件.(2)设2个白球为a,b,两个红球为1,2,则从袋中取2个球的所有取法为a,b,a,1,a,2,b,1,b,2,1,2,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)P(A)P(B).所以事件A,B不是相互独立事件,事件A,B能同时发生.所以A,B不是互斥事件.探究点二 相互独立事件发生的概率【典例2】面对非洲埃博拉病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,
7、现有A,B,C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是.求:(1)他们都研制出疫苗的概率;(2)他们都失败的概率;(3)他们能够研制出疫苗的概率.【解析】令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)他们都研制出疫苗,即事件ABC同时发生,故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.(2)他们都失败即事件同时发生.故P()=P()P()P()=(1-P(A)(1-P(B)(1-P(C)=.(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关
8、系可得所求事件的概率P=1-P()=.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的步骤:(1)首先确定各事件之间是相互独立的.(2)确定这些事件可以同时发生.(3)求出每个事件的概率,再求积.提醒:使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,注意公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.【定向训练】甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求2人至多有1人射中目标的概率.【解析】设甲射中目标为事件A,乙射中目标为事件B,“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况,故所求概率为P=P()+P(A )+P(B)=P
9、()P()+P(A)P()+P()P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.探究点三 相互独立事件概率的实际应用【典例3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求:(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率.(2)红队至少两名队员获胜的概率.【思维导引】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的,及这些事件间的关系,然后选择相应概率公式求值.【解析】设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则分别表示
10、甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ,E ,F,以上3个事件彼此互斥且独立.所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1=P(D +E +F)=P(D )+P(E )+P(F)=0.60.50.5+0.40.50.5+0.40.50.5=0.35.(2)方法一:红队至少两名队员获胜的事件有:DE ,D F,EF,DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两名队员获胜的概率为P=P(DE )+P(D F)
11、+P(EF)+P(DEF)=0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55.方法二:“红队至少两名队员获胜”与“红队最多一名队员获胜”为对立事件,而红队都不获胜为事件,且P()=0.40.50.5=0.1.所以红队至少两人获胜的概率为P2=1-P1-P()=1-0.35-0.1=0.55.【类题通法】求复杂事件的概率的三个步骤(1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.(2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件.(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.【定向训练】某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况
12、统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:(1)三人都合格的概率.(2)三人都不合格的概率.(3)出现几人合格的概率最大.【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).(1)三人都合格的概率:P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.(2)三人都不合格的概率:P0=P()=P()P()P()=(3)恰有两人合格的概率:P2=P(AB )+P(A C)+P(BC
13、)=.恰有一人合格的概率:P1=1-P0-P2-P3=综合(1)(2)可知P1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.【课堂小结】课堂素养达标1.抛掷3枚质地均匀的硬币,A=既有正面向上又有反面向上,B=至多有一个反面向上,则A与B的关系是()A.互斥事件B.对立事件C.相互独立事件D.不相互独立事件【解析】选C.由已知有P(A)=1-,P(B)=1-,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.2.下列事件中,A,B是相互独立事件的是()A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”
14、,B=“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【解析】选A.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A正确;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立;D中事件B受事件A的影响,所以不相互独立.3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()【解析】选C.因为P(A)=,P(B)=,所以P()=,P()=.又A,B为相互独立事件,所以P()=P()P()=.所以A,B中至少有一件发生的概率为1-P()=1-.4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_.【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A,则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.200.10=0.98.答案:0.98
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