1、2016届高三年级第二次四校联考数学（理）试题2015.12命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(51260分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1已知集合，集合，则等于A B C D2是虚数单位，若，则的值是ABCD3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序若输入的值为1，则输出S的值为 A. 64 B. 73C. 512 D. 5854. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A. B. C. D.5. 已知|1，|，且，则向量与向量的夹角为A. B. C.
2、 D. 6. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是ABCD7. 是“函数在区间内单调递增”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是ABCD 9. 将函数的图像向左平移个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则的最小值是 A. B. C. D. 10. 已知，则等于A5 B5 C90 D18011. 设抛物线的焦点为，点在上， ，若以为直径的圆过点，则的方程为A BC D 12. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A B
3、 C D二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13. 定积分= 14. 已知满足约束条件，求的最小值是 15. 若三棱锥P-ABC的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 16. 已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 016_三、解答题: （本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。）17. （本小题满分12分）中,角所对边分别是,且.（1）求的值; （2）若,求面积的最大值.18. （本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50
4、名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E（X） 附表及公式19（本小题满分12分）如图，三棱锥中，底面，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面 ； （2）求直线与
5、平面所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程;（2）已知点A,B为动直线与椭圆C的两个交点,问:在轴上是否存在定点E,使得为定值?若存在,试求出点的坐标和定值;若不存在,请说明理由.21（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程; （2）证明：.选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。第22题图22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），
6、延长至, 延长交的延长线于（1）求证：；（2）求证：23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为 (为参数)，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.（2）若直线的极坐标方程为 ，求直线被曲线截得的弦长.24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。已知函数的解集为（1）求的值；（2）若，成立，求实数的取值范围2016届高三年级第二次四校联考数学（理）试题答案2015.12命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中【满分150分，考试时间为120分钟】1-5 ACBCB 6-10 BCDAD 11
7、-12CB13. 14. 15. 16. 17.解: 6分由余弦定理:., 8分当且仅当时有最大值， 10分 12分18.解：()由表中数据得的观测值2分所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）3分()设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示) 设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为5分由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为.7分()由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为， 8分 ， 9分 10分 的分布列为： 11分1. 12分19.解答
8、：（1）证明：底面，且底面， 1分由，可得 2分又 ，平面 3分注意到平面， 4分,为中点， 5分 ， 平面 6分（2）如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系. 则 7分. 8分设平面的法向量. 由得，即（1） （2）取，则，. 10分，,直线与平面所成角的正弦值. 12分20.解答.(1)由得,即 1分又以原点O为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆为且与直线相切,所以代入得c=2, 2分所以.所以椭圆C的标准方程为 4分(2)由得 6分设A(x1,y1)、B(x2,y2),所以 8分根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),使得为定值.则 9分=要使上式为定值,即与k无关, 10分
9、得. .11分此时, ,所以在x轴上存在定点E(,0) 使得为定值,且定值为. 12分21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)， 2分由题意可得f(1)2，f(1)e，故曲线在处的切线方程为; 4分(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1， 从而f(x)1等价于xln xxex .6分设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x，所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g .8分设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1. 12分22.解：证明：、四点共圆且, , .5分由得,又,所以与相似,，又,，根据割线定理得， .10分23.解：曲线的参数方程为 (为参数)曲线的普通方程为曲线 表示以 为圆心， 为半径的圆。将 代入并化简得： 即曲线c的极坐标方程为 . .5分直线的直角坐标方程为圆心到直线的距离为 弦长为 . .10分24.解： ，所以， ， 或 ，又 的解集为 故. .5分等价于不等式， .8分故，则有，即，解得或 即实数的取值范围 .10分
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