1、四川省巴中市2020届高三数学第一次诊断性试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.复数z=在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限故选D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，属于基础题2.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】集合A,B分别表示抛物线，
2、直线上的点构成的集合，其交点构成集合即为交集.【详解】由解得或，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集，求直线与抛物线交点，属于容易题.3.设，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.【详解】,故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.4.已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）A. 可以预测，当时，B. C. 变量、之间呈负相关关系D. 该回归直线必过点【答案】B【解析】【分析】将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将的坐标代入回归直
3、线方程可计算出实数的值，可判断出B选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；根据回归直线过点可判断出D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，A选项正确；对于B选项，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，B选项错误；对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量、之间呈负相关关系，C选项正确；对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项正确.故选B.【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5.已知点，不共线，则“与的夹角为”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件
4、D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的性质,可判断与与的夹角为的推出关系，即可求解.【详解】当与的夹角为时，当时，化简得：， ，不共线，与的夹角为锐角，所以“与的夹角为”是“”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，充分不必要条件，属于中档题.6.下列关于函数和函数的结论，正确的是( )A. 值域是B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的值域，周期性分别分析即可.【详解】,故A错误D正确，故B,C错误，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，周期性，属于容易题.7.已知函数，则其导函数的图象大致是( )A. B.
5、C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数导数，观察图象，确定导函数的奇偶性，再利用导数确定导函数的单调性，即可求解.【详解】,即函数为奇函数，排除B,D选项，令，则，当时，在上单调递减，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的导数，利用导数判定函数单调性，函数的奇偶性，属于中档题.8.设，为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中所有正确命题序号是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中，与相交或平行；在中，或；在中，由线面垂直的性质定定理得；在中，由线面垂直的判定定理得【详解】由，为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的
6、平面，知：在中，若，则与相交或平行，故错误；在中，若，则或，故错误；在中，若，则由线面垂直的性质定理得，故正确；在中，若，则由线面垂直的判定定理得，故正确故答案为：【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题9.已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为140，则的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程，列出关系式，即可求解双曲线的离心率.【详解】渐近线的倾斜角为140，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，离心
7、率的求法，考查计算能力，属于中档题.10.函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为( )A. 4B. C. 8D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性，构造方程可解的，原方程有解可转化为在有解，换元，求函数的最小值即可.【详解】,，又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数,， 在有解，在内有解，令，是增函数，则，即在有解，当且仅当时，等号成立，的最小值，故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的运用，函数与方程，均值不等式，换元法，属于中档题.11.如图，在直三棱柱中，则四棱锥的外接球的体积是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
8、】连接，由, , 都是以为斜边的直角三角形可知球的直径为，即可求解.【详解】连接,平面,平面, , 都是以为斜边的直角三角形,是四棱锥的外接球的直径，在中，可解得，故选：A【点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球，利用直角三角形确定球的直径是关键，属于中档题.12.已知函数（），若方程恰有3个不同的根，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，当时显然方程有一个根，问题转化为当时，有2个根，即与的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解.【详解】当时，即为，即，所以方程有1根，又方程恰有3个不同的根，所以当时，有2个根，即有2个根，所以与的图象有2个交
9、点，设过原点与相切的直线切点为，则切线斜率，解得，所以，所以与有2个交点则需，即，故选：B【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13._.【答案】0【解析】【分析】根据对数运算法则求解即可.【详解】,故答案为：0【点睛】本题主要考查了对数的运算法则，属于容易题.14.已知，则_.【答案】-3.【解析】【分析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程【详解】因为，所以【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号15.已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于
10、，两点，交于点，若，则_.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的定义，利用平行线分线段成比例，即可推导出所求结果.【详解】过P，Q分别作PM,QN垂直准线于,如图：，,由抛物线定义知，,，故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，属于中档题.16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积“三斜公式”，设的三个内角的对边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为.若，则用“三斜求积”公式求得的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据条件求出，代入求解即可.【详解】,故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，考查了推理能力，计算能力，属于中档题.三、解答题：共70
11、分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，是棱的中点.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面？并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）先证明平面，可得平面平面，由面面垂直的性质可证平面（2）取中点，连接，根据平行四边形可得线线平行，即可证明线面平行.【详解】(1)由底面是矩形，知，又，平面平面又平面平面平面由，是棱的中点得：平面平面 ， 平面平面(2)在棱上存在点，使得平面，且为的中点.证明如
12、下：如图取中点，连接，在矩形中，四边形平行四边形平面，平面平面.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，线面平行的判定，属于中档题.18.已知各项均为正数的数列的前项和满足（）.(1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，；(2).【解析】【分析】（1）根据与的递推关系的关系求出通项公式即可（2）由（1）可知，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的求和公式即可求解.【详解】(1)由知：当时，有， ，解得由， 两式相减，得：，化简得：变形得：对，有，即故 数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)，【点睛】本题主
13、要考查了数列的递推关系，等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于中档题.19.“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：），经统计，树苗的高度均在区间内，将其按，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于的为优质树苗.(1)求图中的值；(2)已知所抽取的这120株树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优
14、质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由；(3)通过用分层抽样方法从试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率.附：参考公式与参考数据：其中0.0100.0050.0016.635787910.828【答案】(1)0.025；(2)没有，理由见解析；(3).【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可（2）由题意完善列联表，计算，比较临界值即可得出结论（3）根据分层抽样抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株，记2株优质树苗为、，记3株非优质树苗为、，列出基本事件，利用古典概型求解即可.【详解】(1)根据频率直方图数据，有，解
15、得：.(2)根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有列联表如下：试验区试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120可得；所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与两个试验区有关系注：也可由得出结论(3)由(2)知：试验区选中的树苗中优质树苗有20株，非优质树苗有30故用分层抽样在这50株抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株记2株优质树苗为、，记3株非优质树苗为、则从这5株树苗中随机抽取2株的共有以下10种不同结果：，其中，优质树苗和非优质树苗各有1株的共有以下共6种不同结果：，优质树苗和非优质树苗各有1株的概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，独
16、立性检验，古典概型，属于中档题.20.已知函数.(1)当时，求函数的单调区间及极值；(2)当时，求证：.【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为；，没有极小值；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数求函数的单调区间、极值即可（2）构造函数，利用导数，分类讨论求函数的最小值，转化为最小值不小于0即可，也可构造函数后变换主元为求其最大值也可证明.【详解】(1)当时，在上单调递减由得：当时，；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.，但没有极小值.(2)证明：证法一令当时，故当时，在上是增函数由得：当时，在上单调递减当时，在上单调递增由知：，于是，即综上所述，当时，.证法二
17、即，其中，以为主元，设，则当时，.由知对任意成立.令，则在上单调递减又当时，；当时，对任意，都有，即综上所述，当时，.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调区间及极值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.21.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.(1)求的方程，并说明是什么曲线；(2)若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，椭圆；(2)存在，.【解析】【分析】（1）写出斜率，根据斜率之积为建立方程，化简即可（2）假设存在的定点，分MN斜率存在或不存在两种情况讨论，设，当M
18、N斜率存在时，联立方程可求出，根据两角相等可得，化简即可求出m,验证MN斜率不存在时也成立即可.【详解】(1)由题意得：化简得：曲线的方程为是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）(2)假设存在的定点符合题意由题意知：直线的斜率分别为，由题意及(1)知：直线与直线均不重合.当直线的斜率存在时设其方程为，由，得直线的倾斜角互补，故又由消去，整理得：.又，代入得：当时，又不恒为当且仅当时，式成立，即定点满足题意.当直线的斜率不存在时，点满足，也符合题意.综上所述，在 轴上存在定点，使得.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题.（二）选考题：共10
19、分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修44：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数，)在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.(1)当时，求与的交点的极坐标；(2)直线与曲线交于两点，且两点对应的参数互为相反数，求的值【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为，联立解出方程组即可；（2）把直线的参数方程代入曲线，根据结合韦达定理可得结果.试题解析：（1）由，可得，所以，即，当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，联立解得交点或，化为极坐标为
20、，（2）把直线的参数方程代入曲线，得，可知，所以选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围【答案】(1) x|x4或x1；(2) 3，0.【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于-2-xa2-x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围试题解析：（1）当a3时，f（x）当x2时，由f（x）3得2x53，解得x1；当2x3时，f（x）3无解；当x3时，由f（x）3得2x53，解得x4.所以f（x）3的解集为x|x1或x4 6分（2）f（x）|x4|x4|x2|xa|.当x1，2时，|x4|x2|xa|（4x）（2x）|xa|2ax2a，由条件得2a1且2a2，解得3a0，故满足条件的实数a的取值范围为3，0考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数
