1、5.1.2 数列中的递推新课程标准素养风向标1.理解数列的几种表示方法,能从函数的观点研究数列2.理解递推关系的含义,能根据递推关系求出数列的前几项3.理解数列an的前n项和Sn的含义,并掌握an与Sn的关系1.会根据数列的通项公式,解决简单的数列问题(数学运算)2.体会递推关系是数列的一种表示法,并能根据递推关系写出数列的前几项(逻辑推理、数学运算)3.掌握由一些简单的递推关系求通项公式的方法(数学运算)4.掌握数列的前n项和Sn与通项an的关系并会应用(数学抽象)主题1递推关系1.观察图形,根据下面的说明,回答问题:某剧场有9排座位,第一排有7个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位
2、(如图).写出前五排座位数;第n排座位数an与第n+1排座位数an+1之间的关系能用等式表示吗?若能,请写出an与an+1的等量关系.基础预习初探提示:前五排座位数分别为7,9,11,13,15,an与an+1之间的关系能用等式an+1=an+2表示.2.观察数列1,3,7,15,31,63,127,这个数列中的项有规律吗?它们存在怎样的规律?提示:有,首项为1,从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a1=1,且an+1=2an+1(nN*).结论:数列的递推关系(1)定义:如果已知数列的_(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的_.(
3、2)通项公式与递推关系的区别与联系首项递推关系区别联系通项公式项an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法,可求出数列中任意一项递推关系已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式【对点练】已知数列an满足:a1=1,an+1=3an-2,则a6=()A.0B.1C.2D.6【解析】选B.因为a1=1,an+1=3an-2,所以a2=3a1-2=1,以此类推可得a3=3a2-2=1,a4=3a3-2=1,a5=3a4-2=1,a6=3a5-2=1.主题2 已知Sn,求an1.数列an中,若Sn=a1+a2+an=2n-1,如何求a1?a10呢?提示:a1=S1=21-1=1,
4、a10=S10-S9=(210-1)-(29-1)=29.2.问题1中可以通过前n项和公式Sn=2n-1,求通项公式吗?提示:可以.a1=S1=1,n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,且a1=1时上式也成立,所以an的通项公式是an=2n-1.结论:1.数列的前n项和的概念对于数列an,称Sn=_为数列an的前n项和.2.数列an的前n项和Sn与通项an关系为a1+a2+an【对点练】数列an中,Sn=a1+a2+an=2n,则通项公式是()A.an=2nB.an=2n-1C.an=D.an=【解析】选C.由Sn=2n,得a1=S1=21=2,n2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=
5、2n-1,当n=1时,a1=2不适合,所以核心互动探究探究点一 由递推关系求数列的项【典例1】已知数列an中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n3)给出.(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式bn=构造一个新的数列bn,写出数列bn的前4项.【思维导引】(1)由递推关系,将a1,a2代入求解;(2)由bn=,将a1,a2,a3,a4,a5代入求解.【解析】(1)因为an=an-1+an-2(n3),且a1=1,a2=2,所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故数列an的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,
6、a5=8.(2)因为bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,所以故bn的前4项依次为【类题通法】由递推关系写出数列的项的方法(1)根据递推关系写出数列的前几项,首先要弄清楚递推关系中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)若知道的是末项,通常将所给递推关系整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给递推关系整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=【定向训练】1.已知数列an中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n3),则a4=_.【解析】由an=2an-1+3an-2得a3=2a2+3a1=19,a4=2
7、a3+3a2=44.答案:442.数列an满足1-an=,a10=,则a1=_.【解析】由数列an满足1-an=,a10=,可得a9=-1,a8=2,a7=,所以数列的周期为3,a1=a10=.答案:【补偿训练】已知数列an中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写出a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列an具有怎样的规律?你能否求出该数列中的第2 018项?【解析】a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,.发现:an+6=an,数列an具有周期性,周期T=6.证明如下:因为an+2=an+1-an,所以an+3=an+2-an
8、+1=(an+1-an)-an+1=-an,所以an+6=-an+3=-(-an)=an,所以数列an是周期数列,且T=6,所以a2 018=a3366+2=a2=2.探究点二 由递推关系求数列的通项公式【典例2】(1)在数列an中,a1=1,an+1=(nN*),则an的通项公式为_.(2)若数列an是正项数列,且(nN*),则an=_.(3)设数列an中,a1=1,an=(n2),求an的通项公式.【思维导引】(1)将原式an+1=变为,即,再利用累加法求解.(2)写出n2时,前n-1项的和式,相减即得.(3)将原递推关系转化为(n2),然后利用累乘法求解.【解析】(1)由,得,即所以,以
9、上各式累加得:,即 .答案:an=(2)因为数列an是正项数列,且所以=4,即a1=16,n2时,两式相减得=2n+2,所以an=4(n+1)2(n2)当n=1时,a1=16适合上式,所以an=4(n+1)2.答案:4(n+1)2(3)因为a1=1,an=(n2),所以,an=a1=1=.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.【类题通法】由递推关系求通项公式的两种方法(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1求通项.(2)累乘法:当=g(n)时,常用an=a1求通项.【定向训练】已知数列an中,a1=2,an
10、+1=,求数列an的通项公式.【解析】,则an=a1+ln()=2+ln n(n2).又a1=2=2+ln 1也满足上式,所以an=2+ln n.故数列an的一个通项公式为an=2+ln n.【补偿训练】在数列an中,若a1=2且对所有的nN*满足an+1=an+2,求an.【解析】因为a2=a1+2,a3=a2+2,a4=a3+2,an=an-1+2.把以上各式相加得:an=a1+2(n-1)=2+2n-2=2n.探究点三 由数列的前n项和Sn求通项an【典例3】已知数列an的前n项和Sn=-n2+n,求该数列的通项公式.【思维导引】先求a1,n2时由an=Sn-Sn-1求an,然后n=1时
11、验证an是否成立,进而得通项公式an.【解析】当n=1时,a1=-.当n2时,an=Sn-Sn-1=-n2+n-=-3n+.因为a1=-适合an=-3n+,所以an=-3n+.【类题通法】由Sn求通项公式an的方法与步骤(1)令n=1,则a1=S1,求得a1.(2)令n2,则an=Sn-Sn-1.(3)验证a1与an的关系,若a1适合an,则an=Sn-Sn-1;若a1不适合an,则an=【定向训练】已知数列an的前n项和Sn=12n-n2.求数列an的通项公式.【解析】当n=1时,a1=S1=121-12=11;当n2时,an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-12(n-1)-(n-1)2=
12、13-2n,经检验n=1时也适合an=13-2n,所以an=-2n+13(nN*).【补偿训练】已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=an+n2-1(nN*).求an的通项公式.【解析】当n=2时,S2=a1+a2=a2+22-1,即a1=3,当n2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减得an=an-an-1+2n-1,即an-1=2n-1,即an=2n+1,又a1=3适合an=2n+1,所以an的通项公式为an=2n+1.【课堂小结】课堂素养达标1.数列1,3,6,10,15,的递推关系是()A.an+1=an+n,nN*B.an=an-1+n,nN*C
13、.an+1=an+(n+1),nN*D.an=an-1+(n-1),nN*,n2【解析】选C.由已知得a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,an+1-an=n+1,nN*,故选C.2.已知数列an满足a1=2,an+1-an+1=0(nN*),则此数列的通项公式an=()A.n2+1B.n+1 C.1-nD.3-n【解析】选D.因为an+1-an=-1.所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=2+=2+(-1)(n-1)=3-n.3.用火柴棒按如图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式是_.【
14、解析】a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,所以an=2n+1,nN*.答案:an=2n+1,nN*4.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n+2,则a1=_,an=_.【解析】当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n+2-(n-1)2-2(n-1)+2=2n-3,因为a1=1不适合an=2n-3,所以an=答案:15.根据下列条件,写出数列的前4项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=0,an+1=an+2n-1(nN*);(2)a1=1,an+1=an+(nN*).【解析】(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2(nN*).(2)a1=1,a2=,a3=2,a4=.猜想an=(nN*).本课结束
