1、小题压轴题专练21二面角2一单选题1如图在一个的二面角的棱上有两点，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，则的长为AB2CD62过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面夹角的余弦值为ABCD3正方体中，点，分别为棱，上的点（不包含端点），设二面角的平面角为，若，则的取值范围为ABCD4在四面体中，则二面角的平面角的大小为ABCD5所有棱长都为的正四面体的一个面与某四棱体的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是ABCD6如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，锐二面角的平面角的余弦值是ABCD7如图，
2、在大小为的二面角中，四边形，四边形都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是AB2C1D8若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论错误的为A与平面所成角的正弦值为B平面与平面所成角的正切值是C与所成的角为D与所成的角为二多选题9如图所示，从一个半径为（单位：m）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥PABCD，则以下说法正确的是（）A四棱锥PABCD的体积是m3B四棱锥PABCD的外接球的表面积是8m2C异面直线PA与CD所成角的大小为60D二面角APBC所成角的余弦值为10如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，底面，则A平面B直
3、线与底面所成的角为C平面与平面夹角的余弦值为D点到平面的距离为11如图（1）是一副直角三角板现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，在翻折的过程中，下列叙述正确的是A存在某个位置使得B若，当二面角时，则C当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则D异面直线与所成角小于12已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，下列正确的是AB二面角的大小为C三棱锥的体积为定值D若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为三填空题13在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为，和，2，则这个二面角的余弦值为 14已知，为二面角棱上不同两点，分别在半平面，内，若直线与
4、所成角的余弦值为，则二面角的大小为 15已知正方形的边长为4，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上直线与平面所成的角为，则面与面夹角余弦值为 16如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是 （填序号）异面直线与所成角的余弦值为；平面；直线与平面所成角的正弦值为；二面角的余弦值为小题压轴题专练21二面角2答案1解：因为，所以，因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，又，所以，则故选：2解：由题意，将几何体补形为正方体，如图所示，则为平面与平面的交线，因为平面，又，平面，所以，则为平面与平面所成的角，因为，故，则，所以平面与平面夹角的余弦值为
5、故选：3解：设正方体，棱长为，设，因为，所以为二面角的平面角，所以，所以，则，即，所以，所以，故选：4解：二面角的平面角的大小等于与所成角的大小，因为，所以，因为，所以，解得，所以所成的角为，故二面角的平面角的大小为故选：5解：由题意可知，一个三棱柱可被一个平面切成一个三棱锥与一个四棱锥，由题意可得，该四棱锥为所有棱长均为的正四棱锥，如图所示，连接，交于点，连接，则平面，取的中点，连接，由三垂线定理可知，是侧面与底面所成的二面角的平面角，则，所以，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是故选：6解：过点作，且，连接，为二面角的平面角，且平面，则，故选：7解：依题意，故选：8解：取的中点，连接，
6、若将正方形沿对角线折成直二面角，则，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，0，0，1，故，所以，则与所成的角为，故选项错误；因为，所以，则，所以与所成的角为，故选项正确；设平面的一个法向量为，则，令，则，故，又，所以，则与平面所成角的正弦值为，故选项正确；因为平面的一个法向量为，又，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，设平面与平面所成角为，则，所以平面与平面所成角的正切值是，故选：9解：设正方形边长为x，则由如图1知MNx+2xsin60x（+1），又因为MN2，所以x（+1）2，解得x2，对于A，因为PO平面ABCD，所POOA，因为OA，PA2，所以PO，所以，所以A错；
7、对于B，因为OAOBOCODOP，所以四棱锥PABCD的外接球的半径为，所以四棱锥PABCD的外接球的表面积为48（m2），所以B对；对于C，因为ABCD，所以异面直线PA与CD所成角等于PBA，又因为PAB为正三角形，所以PBA60，所以C对；对于D，取PB中点Q连接AQ，CQ，则PBAQ，PBCQ，所以二面角APBC的平面角为AQC，cosAQC，所以D对故选：BCD10解：如图，因为底面，且平面，则，在等腰梯形中，过点作于点，因为，则，故，所以，则，又，平面，所以平面，故选项正确；由选项可知，两两垂直，因为平面，所以，故直线与底面所成的角为，故选项正确；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系
8、如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又为平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为，故选项正确；点到平面的距离为，故选项错误故选：11解：对于，过作，连接，又，四边形为矩形，则，在中，即不存在某个位置使得，即不存在，故选项错误；对于，取中点，中点，连接，则，在等腰中，又，则，则即为二面角的平面角，即，在中，则，在中，解得，在中，在中，解得，故选项正确对于，当点在平面的射影在线段上，设射影点为，连接，在中，有，又，则，则，故选项正确；对于，与所成角即为与所成角，又，当平面平面时，与所成角最大，设，则，在中，故，在中，则，存在有异面直线与所成角大于，故选项错误故选：
9、12解：对于，如图1，易得面，由面，可得，故正确；对于，如图2，易得，取中点，连接，可得，为二面角的平面角，在中，故错；对于，为棱上的动点，到面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故正确；对于，如图3建立空间直角坐标系，则，1，设，0，平面，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为，故错故选：13解：在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为，2，两向量的夹角的余弦值为，这个二面角的余弦值为故答案为：14解：在内，过点作，且，连接，则四边形为矩形，可得，由，得为二面角的平面角，设，则，又直线与所成角的余弦值为，得，则，为等边三角形，且，故二面角的大小为故答案为：15解：由已知得，平面，又平面，平面平面，取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，则可取，由与平面所成的角为，则，解得或，均有直线与平面所成的角为，取的中点，则为平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则，当时，当时，平面与平面夹角的余弦值为故答案为：16解：如图，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，2，1，2，0，0，2，2，设异面直线与所成角为，则，故正确；，又，平面，故正确；，设直线与平面所成角为，则，故正确；平面的一个法向量为，由图可知，二面角为钝角，则其余弦值为，故错误结论正确的是故答案为：
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