1、3简谐运动的回复力和能量目标导航 学习目标 1.掌握简谐运动的动力学特征与运动学特征,明确回复力和加速度与位移的关系。2.知道简谐运动是一种没有能量损失的理想运动。3.理解简谐运动的图象和运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。重点难点 1.简谐运动过程中各物理量的变化规律。2.简谐运动过程中的能量转化。激趣诱思据中国日报报道,英国科学家日前成功开发出一款能将振动转化为电能的“迷你发电机”,能为心脏起搏器供电。科学家相信手机、MP3 等电子设备将来也可以利用这一技术,仅靠人类的心跳就能充电,而不必再使用电池。你能简述一下“迷你发电机”的原理吗?简答:心脏的跳动具有能量,可带
2、动“迷你发电机”磁铁之间的线圈运动来产生电流,心脏起搏器就能够运转。心脏病人只要安装了这个发电机,就不必再通过手术更换心脏起搏器的电池,按照同一原理,我们只要把手机、MP3 等无线设备放在胸前口袋,心脏的跳动同样能为它们供电。预习导引一、简谐运动的回复力1.简谐运动的动力学定义:如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。2.回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反,总是指向平衡位置,它的作用是使振子能够回到平衡位置。3.表达式:F=-kx,即回复力与物体的位移大小成正比,负号表示回复力与位移方向始终相反,k 是常量。对于弹簧振子,k 为
3、弹簧的劲度系数。预习交流回复力是不是一种新型的力?它有什么特点?答案:回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,是按照力的作用效果来命名的,分析物体的受力时,不分析回复力。回复力可以由某一个力提供(如弹力),也可能是几个力的合力,还可能是某一个力的分力,归纳起来,回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。二、振动的能量1.振子的速度与动能:速度不断变化,动能也在不断变化。弹簧形变量与势能:弹簧形变量在变化,因此势能也在变化。2.简谐运动过程是一个动能和势能不断变化的过程,在任意时刻振动系统的总机械能不变。在平衡位置处,动能最大,势能最小;在最大位移处,势能最大,动能最小。振动系统的机械能与振幅
4、有关,振幅越大,机械能就越大。一、简谐运动的回复力知识精要1.回复力的来源(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。2.关于 k 值公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数 k 由振动系统自身决定。3.加速度的特点根据牛顿第二定律得 a=-x,表明弹簧振子做
5、简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。思考探究1.回复力是把振子拉回到平衡位置的力,是按作用效果命名的力,思考讨论它是否一定等于弹簧的弹力。答案:不一定。回复力可能只由弹簧弹力提供,也可能是由弹力、重力、摩擦力等力的合力提供,还有可能是由某个力的分力提供。2.以理想水平弹簧振子为例,说明振子从平衡位置到最大位移处的过程中,回复力如何变化?合外力与回复力有什么关系?答案:由回复力 F=-kx 知:从平衡位置到最大位移处的过程中回复力逐渐增大,合外力与回复力相同。典题例解【例 1】一质量为 m 的小球,通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上,如图所示。(1)小球在振动过程
6、中的回复力实际上是 。(2)该小球的振动是否为简谐运动?(3)在小球向平衡位置运动的过程中()A.回复力逐渐增大B.小球的位移逐渐增大C.小球的速度逐渐减小D.小球的加速度逐渐减小思路分析:解答本题时要注意以下三点:(1)分析小球的受力情况可知回复力来源;(2)证明回复力与位移是否满足 F=-kx 的关系;(3)先判断位移 x 的变化,再判断回复力及加速度的变化。解析:(1)此振动过程中的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力。(2)设小球的平衡位置为 O,向下的方向为正方向,此时弹簧已经有了一个伸长量 h,设弹簧的劲度系数为 k,由平衡条件得 kh=mg。当小球向下偏离平衡位置的距离为 x 时
7、,回复力即合外力为F=mg-k(x+h),联立以上两式得 F=-kx,可见,小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点,故该小球的振动是简谐运动。(3)振动中的位移是指由平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段,因而小球向平衡位置运动时位移逐渐减小,选项 B 错误;而回复力与位移成正比,故回复力也减小,选项A错误;由牛顿第二定律得加速度也减小,选项D正确;小球向着平衡位置运动时,回复力与速度方向一致,故小球的速度逐渐增大,选项 C 错误。答案:(1)弹簧的弹力与重力的合力(2)是简谐运动(3)D迁移应用1.如图所示,质量为 m 的物体 A 放置在质量为 M 的物体 B 上,B与弹簧相连
8、,它们一起在光滑水平面上做简谐运动,振动过程中 A、B之间无相对运动,设弹簧的劲度系数为 k。当物体离开平衡位置的位移为 x 时,A、B 间摩擦力的大小等于()A.0 B.kxC.mMkxD.mM+mkx解析:当物体离开平衡位置的位移为 x 时,弹簧弹力的大小为 kx,以整体为研究对象,此时 A 与 B 具有相同的加速度,根据牛顿第二定律得 kx=(m+M)a,故 a=kxM+m。以 A 为研究对象,使 A 产生加速度的力即为 B 对 A 的静摩擦力 F,由牛顿第二定律可得 F=ma=mM+mkx。故正确选项为 D。答案:D2.做简谐运动的物体,其加速度 a 随位移 x 的变化规律是下图中的(
9、)解析:做简谐运动的回复力 F=-kx,由牛顿第二定律得 a=-x,所以选项 B 正确。答案:B二、简谐运动的能量知识精要1.决定因素:对于一个确定的振动系统,简谐运动的能量由振幅决定,振幅越大,系统的能量越大。2.能量获得:开始振动时系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化而来的。3.能量转化:简谐运动中,系统只发生动能和势能的相互转化,机械能守恒。4.能量的周期性:在简谐运动的一个周期内,动能和势能之间完成两次周期性的转化。经过平衡位置时动能最大,势能最小;经过最大位移处时,势能最大,动能最小。5.能量大小:如果选取平衡位置为零势能点,弹簧振子振动时的能量就等于振子在平衡位置的动能或在最
10、大位移处的势能。6.能量的对称性:振子运动经过平衡位置两侧的对称点时,具有相等的动能和相等的势能。思考探究1.简谐运动是理想化模型,分析讨论后从能量的角度说明它的理想化特点。答案:(1)简谐运动中,动能和势能相互转化,但在转化过程中机械能守恒,因为只有重力或系统内的弹力做功。(2)正是由于机械能守恒,并且振动的能量只跟振幅有关,所以一个确定的简谐运动是等幅振动。2.在弹簧振子做简谐运动的一个周期内,分析动能和势能之间相互转化的情况。答案:在一个周期内,动能和势能之间完成两次周期性的转化。典题例解【例 2】下图为一弹簧振子的振动图象,在 A、B、C、D、E、F 各时刻中:(1)哪些时刻振子有最大
11、动能?(2)哪些时刻振子有相同速度?(3)哪些时刻振子有最大势能?(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度?思路分析:解答本题时要注意以下两点:(1)简谐运动中的能量转化情况;(2)速度和加速度是矢量,具有方向性。解析:由题图可知,B、D、F 时刻振子在平衡位置,具有最大动能,此时振子的速率最大;A、C、E 时刻振子在最大位移处,具有最大势能,此时振子的速度为 0。B、F 时刻振子向负方向运动,D 时刻振子向正方向运动,可知 D 时刻与 B、F 时刻虽然速率相同,但方向相反。A、E 两时刻振子的位移相同,C 时刻振子的位移虽然大小与 A、E两时刻相同,但方向相反。由回复力知识可知,C 时刻与 A、
12、E 时刻振子受力的大小相等,但方向相反,故加速度大小相等,方向相反。答案:(1)B、D、F 时刻振子有最大动能(2)A、C、E 时刻振子速度相同,B、F 时刻振子速度相同(3)A、C、E 时刻振子有最大势能(4)A、E 时刻振子有相同的最大加速度解析:题中给出的振动图象,它所描述的是一个质点在不同时刻的位置,t2 和 t4 是在平衡位置处,t1 和 t3 是在最大振幅处。根据弹簧振子振动的特征,弹簧振子在平衡位置时的速度最大,加速度为零,即弹性力为零;在最大位移处,速度为零,加速度最大,即弹性力为最大,所以 B 正确。答案:B迁移应用1.下图为一水平弹簧振子的振动图象,由此可知()A.在 t1
13、 时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最大B.在 t2 时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最小C.在 t3 时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最小D.在 t4 时刻,振子的动能最大,所受的弹性力最大2.(多选)如图所示,一弹簧振子在 A、B 间做简谐运动,平衡位置为 O,已知振子的质量为 M,若振子运动到 B 处时将一质量为 m 的物体放到 M 的上面,且 m 和 M 无相对滑动地一起运动,下述正确的是()A.振幅不变B.振幅减小C.最大动能不变D.最大动能减少解析:当振子运动到B点时,M的动能为零,放上m,系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能 Ep,由于简谐运动过程中系统的机械能守恒,即振幅不变
14、,故 A 正确。当 M 和 m 运动至平衡位置 O 时,M 和 m的动能和即为系统的总能量,此动能最大,故最大动能不变,C 正确。答案:AC简谐运动中各物理量的变化规律知识链接振子以O 为平衡位置在 AB之间做简谐运动,各物理量的变化规律为:振子的运动情况变化规律 物理量 AO OB BO OA 位移 大小 减小 增大 减小 增大 方向 OA OB OB OA 回复力 大小 减小 增大 减小 增大 方向 AO BO BO AO 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 方向 AO BO BO AO 速度 大小 增大 减小 增大 减小 方向 AO OB BO OA 动能 增大 减小 增大 减小 势能
15、 减小 增大 减小 增大 案例探究如图所示,质量为m 的物体放在弹簧上,在竖直方向做简谐运动,当振幅为 A 时,物体对弹簧的压力最大值是物重的 1.5 倍,则物体对弹簧的最小压力是 ;欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧,其振幅不能超过 。思路分析:本题中弹簧的弹力与重力的合力充当回复力,注意应用简谐运动的对称性进行分析求解。解析:弹簧的弹力与重力的合力充当物体做简谐运动的回复力F。在振动的最低点处,物体对弹簧压力最大为 FN1=1.5mg,设向下为正方向,则对物体有 F1=mg-FN1=-kA;在振动的最高点处,物体对弹簧压力最小为 FN2,对物体有 F2=mg-FN2=kA,则FN2=mg-k
16、A=2mg-FN1=0.5mg。物体振动到最高点处,若刚好不脱离弹簧,则对弹簧压力为零,重力等于回复力,有 F=mg=kA,又 F2=mg-FN2=kA,即 F2=0.5mg=kA,得A=2A。答案:0.5mg 2A思悟升华因 F=-kx,由牛顿第二定律得质点运动的加速度为 a=-,方向与位移方向相反,总指向平衡位置,所以简谐运动是一种变加速运动,在平衡位置时,速度最大,加速度为零;在最大位移处,速度为零,加速度最大。若质点运动的加速度满足关系 a=-,则质点一定做简谐运动。1.(多选)关于简谐运动,以下说法中正确的是()A.回复力总指向平衡位置B.加速度、速度方向永远一致C.在平衡位置加速度
17、、速度均达到最大值D.在平衡位置速度达到最大值,而加速度为零解析:回复力是把物体拉回到平衡位置的力,选项A正确;加速度方向始终指向平衡位置,速度方向可能指向平衡位置,也可能背向平衡位置,选项 B 错误;平衡位置位移为零,据 a=-知加速度为零,势能最小,动能最大,速度最大,选项 C 错误,D 正确。答案:AD2.关于简谐运动中弹簧振子的合力和位移的关系,图中表示正确的是()解析:根据 F=-kx 可知,回复力与位移的关系图象为一条直线,斜率为负值,选项 C 正确。答案:C3.(多选)如图表示某质点做简谐运动的图象,以下说法中正确的是()A.t1、t2 时刻的速度相同B.从 t1 到 t2 这段
18、时间内,速度与加速度同向C.从 t2 到 t3 这段时间内,速度变大,加速度变小D.t1、t3 时刻的加速度相同解析:t1 时刻振子速度最大,t2 时刻振子速度为零,故选项 A 错误;t1 到t2 这段时间内,质点远离平衡位置,故速度背离平衡位置,而加速度指向平衡位置,所以二者方向相反,则选项B 错误;在 t2到t3这段时间内,质点向平衡位置运动,速度在增大,而加速度在减小,故选项 C 正确;t1和 t3 时刻质点在平衡位置,故加速度均为零,选项 D 正确。答案:CD4.如图所示,质量为 3m 的框架放在一水平台秤上,一轻质弹簧上端固定在框架上,下端拴一质量为 m 的金属小球,小球上下振动。当
19、小球运动到最低点时,台秤的示数为 5mg,小球运动到最高点时,台秤的示数为 ,此时小球的瞬时加速度大小为。解析:当小球运动到最低点时,台秤示数为 5mg,即框架对台秤的压力大小为 5mg,由牛顿第三定律知,台秤对框架的支持力为 FN=5mg。设最低点时小球的加速度大小为 a,弹簧的弹力为 F。此时框架的加速度大小为零,则对框架分析得 F+3mg=FN,解得 F=2mg,对小球应用牛顿第二定律得 F 合=F-mg=mg,又 F 合=ma,解得 a=g。由弹簧振子的对称性可知,小球运动到最高点时,小球加速度的大小也为 g,方向竖直向下,所以此时弹簧处于原长,对框架没有作用力,台秤的示数为框架的重力,即为 3mg。答案:3mg g