1、1函数的零点及应用一、要点扫描1函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续的曲线且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有零点2函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)0.3曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线yf(x)与yg(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数yf(x)g(x)的零点，即求f(x)g(x)0的根二、典型例题剖析1求函数的零点例1 求函数f(x)x33x2的零点
2、解令f(x)x33x20，(x2)(x1)20.x2或x1，函数f(x)x33x2的零点为2,1.评注求函数的零点，就是求f(x)0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题2判断函数零点的个数例2 已知函数f(x)ax(a1)，判断函数f(x)0的根的个数解设f1(x)ax(a1)，f2(x)，则f(x)0的解，即为f1(x)f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)ax(a1)与f2(x)的图象(如图所示)所以方程f(x)0的根有一个评注利用数形结合的思想
3、解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点的个数(即是原函数的零点的个数)3确定零点所在的区间例3 设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析yx3与yx2的图象的交点的横坐标即为x3x2的根，即f(x)x3x2的零点，f(1)1110，f(2)23070，f(x)的零点在区间(1,2)内答案B评注本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求4利用函数零点的存在性求参数范围例4 关于x的二次方程x2(m1)x10在0,2上有解，
4、求实数m的取值范围解设f(x)x2(m1)x1，x0,2，又f(0)10，由题意得或解得3m1，解得m3，即m1.所以m的取值范围为(，1评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求2零点问题考向探究函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型一、判断函数零点的存在性例1已知函数f(x)2x34x23x1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是()A函数在区间(1,0)内有零点B
5、函数在区间(0,1)内有零点C函数在区间(1,2)内有零点D函数在区间(2,3)内有零点分析根据选项提供的区间来看，需要计算f(1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点所在的区间解析因为f(1)20，f(1)40，f(2)50，所以f(1)f(0)0，f(0)f(1)0，f(2)f(3)0.又因为一个三次方程最多有三个实根，所以函数f(x)2x34x23x1在区间(1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点答案C评注由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正确答案二、判断函
6、数零点所在的大致区间例2函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)解析因为f(1)30，f(0)10，所以f(x)在区间(1,0)上存在零点答案B评注若f(a)f(b)0，且f(x)在a，b上连续，则yf(x)在区间(a，b)内一定有零点，但要注意，若f(a)f(b)0，并不能证明f(x)在(a，b)内没有零点.3函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量
7、间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数yf(x)(如果yax2bxc可以写成f(x)ax2bxc，即yf(x)的形式)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看作二元方程yf(x)0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)3x32x21，判断方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程
8、是否有解解因为f(1)3(1)32(1)2140，所以f(1)f(0)1，f(6)1，f(6)1，得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6)0时，g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点因此方程f(x)1仅有一个根故选A.答案A评注在区间a，b上单调且图象连续的函数yf(x)，若f(a)f(b)0或k0或k4评注本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决.4函数应用问题“讲”与“练”讲解一求函数模型例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电
9、子产品征收附加税已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t(t0)万件请将税金收入表示为征收附加税的函数解设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y250xtx.依题意，知x40t0，即t25.故所求的函数关系式为yt4t2100t(0t25)评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求练习1将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少
10、15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式答案y15x250x15 000讲解二函数模型的选用例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：种植成本Q(万元)150100上市时间t(天)50150模拟函数可以选用二次函数Qa(t150)2b(a，b为常数，且a0)或一次函数Qktm(k，m为常数，且k0)已知种植成本Q112.5万元时，上市时间t200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由分析根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.解设f(t)a(t150)
11、2b(其中a，b为常数，a0)，g(t)ktm(k0)由已知，得所以解得所以f(t)(t150)2100，g(t)t175.因为f(200)(200150)2100112.5，g(200)20017575，所以选用f(t)(t150)2100作为模拟函数较好评注本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化练习2现有一组数据如下表所示：x123y1.53.517.5其中最能近似地表达这些数据规律的函数是()Ay2x1 Byx21Cy2x Dyx3x1答案C讲解三转化为熟悉的函数模型例3 有A
12、，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系式分别为：Mx，N，今有4万元资金投入经营A，B两种商品为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？解设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4x)万元于是获得总利润yx.由得0x4.令t(0x4)，则x4t2(0t2)，所以y(4t2)t2(0t2)于是，当t时，ymax(万元)此时，x4t21.75(万元)，4x2.25(万元)故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1.75万元，对B种商品的资金投入为2.25万元练习3某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润答案安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元