1、第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一函数的概念及表示1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2.函数(1)函数实质上是从一个非空数集
2、到另一个非空数集的映射(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数1映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多2判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致3分段函数虽由几
3、个部分组成，但它表示的是一个函数4与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点题组一走出误区1(多选题)下列判断不正确的为(ABC)A函数f(x)的图象与直线x1的交点只有1个B已知f(x)m(xR)，则f(m3)等于m3Cyln x2与y2ln x表示同一函数Df(x)则f(x)题组二走进教材2(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为(B)A1 B2 C3 D4解析中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象3(必修1P24T4改编)已知f(x5)lg x，则f(2)等于
4、(D)Alg 2 Blg 32 Clg Dlg 2解析解法一：由题意知x0，令tx5，则t0，xt，f(t)lg tlg t，即f(x)lg x(x0)，f(2)lg 2，故选D解法二：令x52，则x2，f(2)lg 2lg 2.故选D4(必修1P25BT1改编)函数yf(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是3,02,3；值域是1,5；其中只与x的一个值对应的y值的范围是1,2)(4,5.题组三考题再现5(2019江苏，5分)函数y的定义域是1,7.解析要使函数有意义，则76xx20，解得1x7，则函数的定义域是1,76(2015陕西，5分)设f(x)则ff(2)(C)A1 B C D解
5、析f(2)22，ff(2)f()1，故选CKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一函数的概念及表示考向1函数与映射的概念自主练透例1 (1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？A1,2,3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4.Ax|x0，BR，f：xy，y24x.AN，BQ，f：xy.A衡中高三一班的同学，B0,150，f：每个同学与其高考数学的分数相对应(2)(多选题)(2020河南安阳模拟改编)设集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(BC)(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一
6、函数？f1：y；f2：y1；f3：yx0.f1：y；f2：y()2；f3：yf1：yf2：xx11x2x2y123f3：解析(1)是映射，也是函数；不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”；当x0时，与其对应的y值不存在故不是映射，更不是函数；是映射，但不是函数，因为集合A不是数集(2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C(3)中f1的定义域为x|x0，f2的定义域为R，f3的定义域为x|x0，故不是同一函数；中f1的定义域为R，f2的定义域为x|x0，f3的定义域为x|x0，故不是同一函数；中f1，f2，f3
7、的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数答案(1)是映射，也是函数不是映射，更不是函数不是映射，更不是函数是映射，但不是函数(3)不同函数；同一函数名师点拨 1映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓(2)函数是特殊的映射：当映射f：AB中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数2判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数考向2求函数的解析式师生共研例2 已知f(x)满足下列条件，
8、分别求f(x)的解析式(1)已知f(1)x2，求f(x)；(2)函数f(x)满足方程2f(x)f()2x，xR且x0.求f(x)；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)已知f(0)1，对任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的解析式分析(1)利用换元法，即设t1求解；(2)利用解方程组法，将x换成求解；(3)已知函数类型，可用待定系数法；(4)由于变量较多，可用赋值法求解解析(1)解法一：设1t(t1)，t1，x(t1)2t22t1，f(t)t22t12(t1)t21，f(x)x21(x1)解法二：由f(1)x2(
9、1)21，0，11，f(x)x21(x1)(2)因为2f(x)f()2x ，将x换成，则换成x，得2f()f(x).由消去f()，得3f(x)4x.所以f(x)x(xR且x0)(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，因此应有解得故f(x)的解析式是f(x)2x7.(4)令x0，得f(y)f(0)y(y1)1y2y，f(y)y2y1，即f(x)x2x1.名师点拨 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表
10、达式(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，即令tg(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)此时要注意新元的取值范围(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式变式训练1(1)已知f(cosx)sin2x，则f(x)1x2，x1,1.(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)x2x(xR).(3)定义在R上的函数
11、f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x).解析(1)(换元法)设cosxt，t1,1，f(cosx)sin2x1cos2x，f(t)1t2，t1,1即f(x)1x2，x1,1(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx(a0)又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)(3)(转换法)当1x0，则0x11，故f(x1)(x1)(1x1)x(x1)，又f(x1)2f(x)，所以当1x0时，f(x).考点二分段
12、函数及应用多维探究角度1分段函数求值问题例3 (2020山西太原期中)已知函数f(x)则f(log23)(A)A B3 C D6解析函数f(x)f(log23)f(log231)()log231()log.故选A角度2分段函数与方程的交汇问题例4 设函数f(x)若f(1)f(a)2，则a1或.解析由于f(1)e111，再根据f(1)f(a)2得f(a)1.当a0时，f(a)ea11，解得a1；当1a0时，f(a)sin(a2)1，解得a22k，kZ.由1a0，得a.综上，a1或.角度3分段函数与不等式的交汇问题例5 (2018全国，12)设函数f(x)则满足f(x1)0且2x0，即1x0时，f
13、(x1)f(2x)显然成立；当x10时，x1，此时2x0，若f(x1)2x，解得x1的x的取值范围是(，).解析(1)因为34m3，所以f(34m)log24m2m，故选A(2)当a1时矛盾；当a1时，令log2(a1)2得a3，f(4a)f(1)1，故选C(3)当x时，x0，f(x)2，f(x)201，f(x)f(x)1，在x时恒成立，当01，当x0时，x1，则有2x1，x，当1恒成立，综上，当x时，f(x)f(x)1恒成立MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 数学抽象函数新定义问题中的核心素养例6 设函数f(x)的定义域为D，若对任意的xD
14、，都存在yD，使得f(y)f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：f(x)x2；f(x)；f(x)ln(2x3)；f(x)2x2x；f(x)2sinx1.其中是“美丽函数”的序号有.解析由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)f(x)故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件中函数的值域为0，)，值域不关于原点对称，故不符合题意；中函数的值域为(，0)(0，)，值域关于原点对称，故符合题意；中函数的值域为(，)，值域关于原点对称，故符合题意；中函数的值域为R，值域关于原点对称，故符合题意；中函数f(x)2sinx1的值域为3,1，不关于原点对称，故不符合题意名师点拨 以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题变式训练3定义ab设函数f(x)ln xx，则f(2)f()(D)A4ln 2B4ln 2C2D0解析2ln 20，所以f(2)2ln 22ln 2.因为ln 0，所以f()2ln 2.则f(2)f()2ln 22ln 20.
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