1、课题研究（实践操作）一、选择题1.（2011北京模拟，16，3）图（1）是面积都为S的正边形（），图（2）是由图（1）中的每个正多边形分别对应“扩展”而来。如：图（2）中的a是由图（1）中的正三角形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正三角形，并把居中线段去掉而得到；图（2）中的b是由图（1）中的正四边形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正四边形，并把居中线段去掉而得到 ，以此类推，当图（1）中的正多边形是正十边形时，图（2）中所有“扩展”后的图形面积和为248。则S的值是 。图（2）abcd ；图（1）【答案】18.第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形 2. （2011北京模拟，1
2、6，3） 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是 【答案】或或二、填空题三、解答题1. （2011北京模拟，23，10）我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图像，可由函数y=ax2的图像进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”。左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离称为朋友距离。由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数都可以作为“基本函数”，并进
3、行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”。如一次函数y=2x5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x5=2（x1）3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=.（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向 ，再向下平移7单位，相应的朋友距离为 。（2）探究二：已知函数y=x26x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离。（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，并求相应的朋友距离。【答案】解：（1）左平移1个单位 5 （2）基本函数为y=x2 朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移
4、4个单位 相应的朋友距离为5 （3）函数 可化为y= +3，朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位。相应的朋友距离为 。2. （2011浙江省杭州市一模，22，10）阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积（结果可用三角函数表示）OBACr图如图，当时，设切圆O于点，连结， ， ， ， 在中， ， (1) 如图，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ；（2）如图，当时，仿照（1）中的方法和过程求；（3）如图，根据以上
5、探索过程，请直接写出 OBACr图OBACr图OBACr图【答案】解：（1） （2）如图，当时，设切于点，连结，OBACr图， ， （3）3. （2011安次市一模，23，10）阅读材料：如图231，的周长为，面积为S,内切圆的半径为，探究与S、之间的关系连结，又，解决问题：（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），如图232且面积为，各边长分别为，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）若一个边形（为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为，各边长分别为，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）【答案】：（1），三角形为直角三
6、角形面积， （2）设四边形内切圆的圆心为，连结，则， （3） 4.（宁波七中 一模 27 10）小王同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4 cm图是小王同学所做的一个实验：他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)（1）在DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 （填“不变”、“变大”或“变小”）（2）小王同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当DEF移动至什么位置，即AD
7、的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?（本题10分）（图）（图）（图）【答案】：（1）变小. 2分（2）问题：解：连结设在中，即时， 3分 问题：解：设在中，（）当为斜边时，由得，（）当为斜边时，由得，（不符合题意，舍去）.（）当为斜边时，由得， 方程无解.另解：不能为斜边.中至少有一条线段的长度大于6.不能为斜边.由（）、（）、（）得，当时，经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形. 5分5.（2011年杭州市 一模22 10分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角ABC中
8、，A、B、C的对边分别是a、b、c，过A作 ADBC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即.同理有：，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，ABC中，B=450，C=750，BC=60，则A= ；AC= ； (第22题)（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以60海里时的速度按北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏
9、西75的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.(第22题)22、（本小题满分10分）解：（1）A=600，AC= (2)如图，依题意：BC=600.5=30（海里）CDBE ， DCB+CBE=1800 DCB=300，CBE=1500ABE=750。ABC=750，A=450在ABC中解之得：AB=152分答：货轮距灯塔的距离AB=15海里6. （2011年河北一模23 10）操作示例如图1，ABC中，AD为BC边上的的中线，则SABD= SADC.实践探究图1EDCFBA图4图2图3A（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系
10、式为 ；DCB（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+ S2+ S3+ S4=？图523解：（1） ；（2）；（3）；（4）由上得， ，S1+x+S2+S3+y+S4S1+m+S4+S2+n+S3，（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S
11、1+m+S4+S2 +n+S3）（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴S1+S2+S3+S4=S阴=20 7.（河北一模 24 10）如图1，RtABCRtEDF，ACB=F=90，A=E=30EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K（1）观察： 如图2、图3，当CDF=0 或60时，AM+CK_MK(填“”，“”或“=”)如图4，当CDF=30 时，AM+CK_MK(只填“”或“”)（2）猜想：如图1，当0CDF60时，AM+CK_MK，证明你所得到的结论图1图2（3）如果MK 2+CK
12、2=AM 2，请直接写出CDF的度数和的值图3图424（1） = （2）证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD，则CD=GD ，GK = CK，GDK=CDK，D是AB的中点，AD=CD=GD30，CDA=120，EDF=60，GDM+GDK=60，ADM+CDK =60ADM=GDM，DM=DM， ADMGDM，GM=AMGM+GKMK，AM+CKMK （3）CDF=15，8. （2011年常州模拟 29、9分）已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如
13、图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m 2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？。(本小题只需直接写出答案)9.（2011广东模拟 24 10） 具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合
14、，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.(（图1） （图2） 请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？【答案】：（1）BMP是等边三角形. 1分 证明：连结AN EF垂直平分AB AN = BN由折叠知 AB = BN AN = AB = BN ABN为等边三角形 ABN =60 PBN =30 3分又ABM =NBM =3
15、0，BNM =A =90 BPN =60MBP =MBN +PBN =60BMP =60MBP =BMP =BPM =60BMP为等边三角形 . 5分（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP，则BC BP7分在RtBNP中， BN = BA =a，PBN =30BP = b ab .当ab时，在矩形上能剪出这样的等边BMP.9分10.（2011启东中学中考模拟四 28 13）28（本小题13分）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图16所示，C，D两点的坐标分别为(4，0)，(0，3)现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为
16、t s (1)填空：菱形ABCD的边长是_，面积是_，高BE的长是_ (2)探究下列问题： 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形请探究当t4s时的情形，并求出k的值【答案】：（1）5，24，（2）当时，S取最大值为6 或或2011苏州模拟六 28 9） (1)如图(1)、图(2)、图(3)，在ABC中，分别以AB、AC为边，向ABC外作正三角形、正四
17、边形、正五边形，BE、CD相交于点O 如图(1)，求证：ABFADC； 探究：如图(1)，BOC_； 如图(2)，BOC_ 如图(3)，BOC_ (2)如图 (4)，已知：AB、AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BE、CD的延长线相交于点O 猜想：如图(4)，BOC_（用含n的式子表示）；根据图(4)证明你的猜想12.（2011苏州模拟三 28.9）28（本题9分）如图(1)，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF 解答下列问题： (1)如果ABAC，BAC90
18、当点D在线段BC上时（与点B不重合）如图(2)，线段CF、BD之间的位置关系为_ ，数量关系为_当点D在线段BC的延长线上时，如图(3)，中的结论是否仍然成立，为什么？ (2)如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBD（点C、F重合除外）?画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）(3)若AC4，BC3，在(2)的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值28(1)垂直 相等 成立 (2) BAC45CFBD (3)当x2时,CP有最大值1.【答案】：(1)(2，4) (2)四边形ABP1O为菱形时，P1（2，4）；
19、四边形ABOP2为等腰梯形时，P2（，）；四边形ABP3O为直角梯形时，P3（，）；四边形ABOP4为直角梯形时，P4（，） (3)或13.（2011石家庄模拟 23 10）动手操作：如图1，把矩形AABB卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点 重合，点B与点 重合。探究与发现：（1）如图2，若圆柱的地面周长是30cm,高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝带到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm；（丝线的粗细忽略不计）（2）如图3，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？实践与应用：如图4，现有一个圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外面缠绕一层装饰带，为使带子全
20、部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE,CF方向进行裁剪，如图5所示，若带子的宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，则 。【答案】：， 探究与发现：（1）50； AAC（2）如图，在RtAAC中，AA=30 ，AC=10，AC=，丝线至少为 cm 实践与应用： 14.（2011湖南模拟 26 14）【探究】如图，四边形ABCD中，ABCD，E为AD的中点，若EFAB求证：BFCF【知识应用】如图，坐标平面内有两个点A和B其中点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），求AB的中点C的坐标【知识拓展】在上图中，点A的坐标为（4，5），点B的坐标为（6，1），分别在轴和轴上找一点C和D，使得以A、
21、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求出点C和点D的坐标26 【探究】证明：过点F作GHAD，交AB于H，交DC的延长线于点GAHEFDG，ADGH四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形FHAE，FGDEAEDEFGFHABDGGFHB，GCFBCFGBFHFCFB 【知识应用】过点C作CM轴于点M，过点A作AN轴于点N，过点B作BP轴于点P则点P的坐标为（，0），点N的坐标为（，0）由探究的结论可知，MNMP点M的坐标为（，0）点C的横坐标为同理可求点C的纵坐标为点C的坐标为（，）【知识拓展】当AB是平行四边形一条边，且点C在轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（，0），点D的坐标为（0，）由上面的结论可知：640，10510，6此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，6）同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在轴的负半轴时求得点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，6）当AB是对角线时点C的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）
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