1、11.3集合的交与并新课程标准解读核心素养1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集数学抽象、数学运算2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用数学运算、直观想象3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力数学抽象、逻辑推理某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：中考数学成绩不低于110分；中考理综成绩不低于110分如果满足条件的同学组成的集合记为A，满足条件的同学组成的集合记为B，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为C.问题(1)满足或满足的同学能成为
2、集合C的元素吗？(2)集合A，B，C的关系是什么？知识点一两个集合的交两个集合交运算的性质ABBA；AAA；A；ABAAB.1已知集合A1，0，1，2，B1，0，3，则AB_答案：1，02若集合Ax|3x4，Bx|x2，Cx|x3，则AB_，AC_答案：x|2x4知识点二两个集合的并两个集合并运算的性质ABBA；AAA；AA；ABABA.对并集、交集概念的再理解(1)AB、AB都是一个集合；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“xA，或xB”包含三种情况：“xA，但xB”；“xB，但xA”；“xA，且xB”；(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的
3、元素必须同时是两个集合中的元素 集合AB的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？提示：不一定，AB的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和1设集合M4，5，6，8，N3，5，7，8，则MN_.答案：3，4，5，6，7，82已知Ax|x1，Bx|x0，则AB_答案：x|x0交集的运算例1(链接教科书第9页例10)(1)已知集合A2，0，3，Bx|x2x20，则AB()AB2C0D2(2)设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x4 Dx|1x4解析(1)方程x2x20的解为x1或2，B1，2，AB.故选A.(2)在数轴上表示出集合A与B，如图
4、所示，则由交集的定义知，ABx|0x2答案(1)A(2)A求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍 跟踪训练1(2021南通高一月考)已知集合Ax|x1，B0，1，2，则AB()A0 B2 C1，2 D0，1，2解析：选B集合Ax|x1，B0，1，2，AB2故选B.2已知M(x，y)|xy2，N(x，y)|xy4，则MN()Ax3，y1 B(3，1) C3，1 D(3，1)解析：选D由得故MN(3，1).并集的运算例2(
5、链接教科书第10页例12)(1)已知集合Mx|3x5，Nx|x5或x5，则MN()Ax|x5或x3 Bx|5x5Cx|3x5 Dx|x3或x5(2)已知集合M0，1，则满足MN0，1，2的集合N的个数是()A2 B3C4 D8解析(1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知MNx|x5或x3故选A.(2)依题意，可知满足MN0，1，2的集合N有2，0，2，1，2，0，1，2，共4个故选C.答案(1)A(2)C求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解 跟踪训练1(2
6、021吉林实验中学高一月考)已知集合Ax|2x4，Bx|3x782x，则AB()Ax|3x4 Bx|x2Cx|2x4 Dx|2x3解析：选B由集合B知5x15，即x3，结合数轴(图略)知ABx|x2，故选B.2(多选)满足1，3A1，3，5的所有集合A可能是()A5 B1，5C3 D1，3解析：选AB由1，3A1，3，5知，A1，3，5，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合1，3的子集的元素而1，3有4个子集，因此满足条件的A有4个，它们分别是5，1，5，3，5，1，3，5交集、并集、补集的综合运算例3(1)若全集U1，2，3，4，集合Mx|x24x30，Nx|x25x60，则U(M
7、N)()A4 B1，2 C1，2，4 D1，3，4(2)已知全集UR，集合Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1解析(1)M1，3，N2，3，MN3，U(MN)1，2，4，故选C.(2)由已知，得ABx|x0或x1，故U(AB)x|0x1，故选D.答案(1)C(2)D解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算解答过程中要
8、注意边界问题 跟踪训练1已知集合A，B均为全集U1，2，3，4的子集，且U(AB)4，B1，2，则A(UB)等于()A3 B4C3，4 D解析：选AU1，2，3，4，U(AB)4，AB1，2，3又B1，2，3A1，2，3又UB3，4，A(UB)32(多选)已知全集UR，集合Ax|1x3或4x6，集合Bx|2x5，则下列集合运算正确的是()AUBx|x2或x5BA(UB)x|1x2或5x6C(UA)Bx|x1或2x6DU(UB)x|2x5解析：选ABD因为Bx|2x5，所以UBx|x2或x5，故A正确；由UBx|x2或x5可得，A(UB)x|1x2或5x6，故B正确；由UAx|x1或3x4或x6
9、可得，(UA)Bx|x1或2x5或x6，故C错误；由U(UB)Bx|2x5可得D正确，故选A、B、D.由集合的并集、交集求参数例4已知集合Ax|32k1时，k2，满足ABA.(2)当B时，要使ABA，只需解得2k.综合(1)(2)可知，k的取值范围是.母题探究1(变条件)把本例条件“ABA”改为“ABA”，试求k的取值范围解：由ABA可知AB.所以即所以k.所以k的取值范围为.2(变条件)把本例条件“ABA”改为“ABx|3x5”，求k的值解：由题意可知解得k3.所以k的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到ABA，ABB等这类问题，解答时
10、常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如ABAAB，ABBAB等，解答时应灵活处理；(2)当集合BA时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B的情况，切不可漏掉 跟踪训练设集合Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0(1)若AB2，求实数a的值；(2)若ABA，求实数a的取值范围解：(1)由题可知Ax|x23x201，2，AB2，2B，将x2代入方程x22(a1)x(a25)0得44(a1)(a25)0，解得a5或a1.当a5时，集合B2，10，符合题意；当a1时，集合B2，2，符合题意综上所述，a5或a1.(2)若ABA，则BA，A1，2
11、，B或B1或2或1，2若B，则4(a1)24(a25)248a3，符合题意；若B1或2，则0，即a3，而当a3时，x24x40，得x2，不合题意；若B1，2，则即此时也不成立综上，a的取值范围是(3，)集合运算中的元素个数问题在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补集如果用card表示有限集中元素的个数，如何确定集合AB，AB元素的个数？典例某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？提示：两次一共进了6428种问题探究1本例中，用集合
12、A表示第一次进货的种数，用集合B表示第二次进货的种数，问card(A)，card(B)是多少？提示：card(A)6，card(B)4.2由本例中数据，探究card(A)，card(B)，card(AB)，card(AB)之间有什么关系呢？试借助Venn图说明此关系？提示：对任意两个有限集合A，B，有card(AB)card(A)card(B)card(AB)如图所示，设表示A中不含AB的区域里的元素个数；表示B中不含AB的区域里的元素个数；表示AB区域里的元素个数则card(AB)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(AB)；card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即car
13、d(A)；card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B).注意到card(A)card(B)card(AB)()()card(AB)，则结论得证迁移应用1若card(M)12，card(P)8，则card(MP)的最大、最小值分别是()A12，8B20，8C20，12 D20，4解析：选C0card(MP)8，所以card(MP)card(M)card(P)card(MP)20card(MP)，故其最大值为20，最小值为12.故选C.2一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是(
14、)A49 B50C51 D52解析：选A设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集合B，全班同学为集合U，则UAB.由已知，card(A)51，card(AB)46，card(AB)54，代入card(AB)card(A)card(B)card(AB)，得5451card(B)46，解得card(B)49.1(多选)已知集合Ax|12DA(RB)x|2x3解析：选BDAx|1x3，Bx|x|2x|2x2，ABx|1x3x|2x2x|1x2，A不正确；ABx|1x3x|2x2x|2x3，B正确；RBx|x2，A(RB)x|1x3x|x2x|x1，C不正确；A(RB)x|1x3x|x2x|2x3
15、，D正确2设集合A(x，y)|yax1，B(x，y)|yxb，且AB(2，5)，则( )Aa3，b2 Ba2，b3Ca3，b2 Da2，b3解析：选BAB(2，5)，解得故选B.3已知Ax|axa8，Bx|x5若ABR，则a的取值范围为_解析：由aa8，又Bx|x5，在数轴上标出集合A，B，如图要使ABR，则解得3a1.综上，可知a的取值范围为a|3a1答案：a|3a14已知全集Ux|x是不大于9的正整数，A，B都是U的子集，(UA)B1，3，(UB)A2，4，8，(UA)(UB)6，9，求集合A，B.解：法一：Ux|x是不大于9的正整数1，2，3，4，5，6，7，8，9(UA)B1，3，(UB)A2，4，8，1，3B，2，4，8A.(UA)(UB)U(AB)6，9，AB1，2，3，4，5，7，8若5A，则5UA，5B，此时(UA)B1，3，5，不合题意，故5A.同理，7A，5B，7B.A2，4，5，7，8，B1，3，5，7法二：Ux|x是不大于9的正整数1，2，3，4，5，6，7，8，9，且(UA)B1，3，(UB)A2，4，8，(UA)(UB)U(AB)6，9，Venn图如图，由图可知A2，4，5，7，8，B1，3，5，7