1、24 抛物线24.1 抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的标准方程2会求抛物线的标准方程3能利用抛物线的标准方程解决一些简单的实际问题 课堂互动讲练 知能优化训练 24.1课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1函数yx2的图象是_，如图所示，开口_；2函数yx2的图象是_，如图所示，开口_抛物线向上抛物线向下1抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离_的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，_叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程除y22px(p0)外，还有其他三种形式：y22px，x22py，x22p
2、y(p0)相等定直线l知新益能现将这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：标准方程 焦点坐标 准线方程 图形 y22px(p0)y22px(p0)F(p2，0)xp2F(p2，0)xp2标准方程 焦点坐标 准线方程 图形 x22py(p0)x22py(p0)F(0，p2)yp2F(0，p2)yp21在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F(Fl)”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线，l不经过点F时，点的轨迹是抛物线问题探究 2已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示：一次项变量为
3、x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定课堂互动讲练 考点突破 求抛物线的标准方程 求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3，4)；(2)焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5.【思路点拨】(1)由已知点所在象限，可设抛物线方程(2)利用定义求参数p.例1【解】(1)点(3，4)在第四象限，抛物线的标准方程为y22px(p0)或 x
4、22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px 和 x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即 2p163，2p194.所求抛物线的方程为 y2163 x 或 x294y.(2)由题意，可设抛物线的方程为 y22px(p0)A(3，m)到焦点距离为 5，p235.即 p4.所求抛物线方程为 y28x.【名师点评】求抛物线标准方程时，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论；另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)；焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)自我挑战1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，
5、求抛物线的方程和m的值解：法一：根据已知条件，抛物线方程应 设 为 y2 2px(p0)，则 焦 点 是Fp2，0.点 M(3，m)在抛物线上，且|MF|5，故m26p，3p22m25，解得p4，m2 6，或p4，m2 6.抛物线方程为 y28x，m2 6.法二：设抛物线方程为 y22px(p0)，则准线方程为 xp2.M(3，m)是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于 M 点到准线的距离，有|3|p25，p4，所求抛物线方程为 y28x.又点 M(3，m)在抛物线上，故 m2(8)(3)，m2 6.抛物线的定义可以实现到定点的距离与到定直线距离的转化，利用这种等价性可以解决相
6、关的问题求证：以抛物线的焦点弦(通过焦点的弦)AB为直径的圆与抛物线的准线l相切【思路点拨】解答本题可结合抛物线的定义，分析各线段与圆的半径的关系抛物线定义的应用 例2【证明】法一：设抛物线方程为 y22px(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线焦点为 F，|AF|x1p2，|BF|x2p2，|AB|AF|BF|x1x2p.圆心即 AB 中点 M，半径为 M 到准线 l的距离dx1x22p212|AB|.以抛物线的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切法二：如图，设 AB 的中点为 M，A、B、M在 l 上的射影分别为 A1、B1、M1，则 M 是AB 为直径的圆的圆心根据抛物
7、线的定义，在直角梯形 ABB1A1 中，MM112(AA1BB1)12(AFBF)12AB.故以抛物线的焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切【名师点评】由于抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离相等，所以，在有关抛物线的问题中，常常会涉及两种距离的转换，特别是把到焦点的距离转化到准线的距离在涉及到距离之和最小或距离之差的绝对值最大的问题时，又常常结合三角形中的边边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等性质自我挑战2 已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标解：将 x3代入抛物线方程得y 6，
8、62，点 A 在抛物线内部如图设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，由图知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，则横坐标为 2.P(2,2)以抛物线为数学模型的实例很多，如桥拱、隧道、喷泉、斜上抛物体运行的轨道等，应用抛物线的主要方法是：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标(本题满分14分)一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值抛物线的实际应用 例3【思路点
9、拨】本题主要考查抛物线知识的实际应用解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的问题解决【规范解答】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则点 B 的坐标为(a2，a4)，如图所示设隧道所在抛物线方程为 x2my，则(a2)2m(a4)，ma.即抛物线方程为 x2ay.8 分将(0.8，y)代入抛物线方程，得 0.82ay，即 y0.82a.10 分欲使卡车通过隧道，应有 y(a4)3，即a40.82a 3.12 分a0，a12.21.a 应取 13.14 分【名师点评】(1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字
10、母等)表达、分析、解决问题(2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用1抛物线的定义抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.方法感悟 2抛物线的标准方程(1)抛物线标准方程的灵活“辅设”：对于已知焦点所在轴的抛物线，在不知开口方向时，可将抛物线方程设为y2ax(a0)，此时焦点在x轴上；(或x2ay(a0)，此时焦点在y轴上，)再根据条件求a，若a0，则开口向右(上)；若a0，则开口向左(下)(2)焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点，其方程才具有标准形式，否则应用定义法或转化法求抛物线的方程知能优化训练