1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理课时作业16合情推理知识点一归纳推理 1.观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为()A1B1C1D1答案D解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1.2如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234Sn136(2)S10_.答案(1)10(2)55解析S11，S2312，S36123，推测S4123410，S101231055.知识点二 类比推理3.在公比为4的等比数列bn中，
2、若Tn是数列bn的前n项积，则有，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和可类比得到的结论是_答案数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300解析因为等差数列an的公差d3，所以(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20) 100d300，同理可得：(S40S30)(S30S20)300，所以数列S20S10，S30S20，S40S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300.4在RtABC中，ABAC
3、，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解如图所示，由射影定理得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2CDBC，所以.又BC2AB2AC2，所以.类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.如图，连接BE交CD于F，连接AF，因为ABAC，ABAD，ACADA，所以AB平面ACD，而AF平面ACD，所以ABAF，在RtABF中，AEBF，所以，易知在RtACD中，AFCD，所以，所以，猜想正确.知识点三 归纳和类比推理的应用5.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能
4、上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理 B类比推理C胡乱推理 D没有推理答案B解析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理6可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是1(ab0)与x2y2a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为_答案ab解析由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k，椭圆面积Sa2ab.一、选择题1归纳推理
5、和类比推理的相似之处为()A都是从一般到一般B都是从一般到特殊C都是从特殊到特殊D所得结论都不一定正确答案D解析归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确类比推理是从特殊到特殊的推理，结论具有推测性，不一定可靠，故选D.2下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是()A三角形 B梯形C平行四边形 D矩形答案C解析由类比推理的定义和特点判断，易知选C.3观察下列事实|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为 ()A76 B80 C86 D
6、92答案B解析由已知条件得，|x|y|n(nN*)的整数解(x，y)个数为4n，故|x|y|20的整数解(x，y)的个数为80.4如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为()答案A解析观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A.5把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是()A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直C如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案D解
7、析类比A的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交成立类比B的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直成立类比C的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交成立类比D的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行不成立二、填空题6已知 2， 3， 4，若 6(a，bR)，则ab_.答案41解析根据题意，由于 2， 3， 4，那么可知 6，a6，b66135，所以ab41.7如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(xi，yi)(i1,2,3,4,5,6)分别对应数列a
8、n(nN*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2013a2014a2015的值为_答案1007解析由题图知a1x11，a3x21，a5x32，a7x42，则a1a3a5a7a2013a20150.又a2y11，a4y22，a6y33，则a20141007，所以a2013a2014a20151007.8已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图象上任意不同的两点依据图象可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论a成立运用类比思想方法，可知若点
9、A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数ysinx(x(0，)的图象上的不同两点，则类似地有_成立答案sin解析运用类比推理与数形结合，可知ysinx(x(0，)的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数ysinx(x(0，)图象上的点的纵坐标，即有sin成立三、解答题9观察给出的下列各式：(1)tan10tan20tan20tan60tan60tan101；(2)tan5tan15tan15tan70tan70tan51.由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论解观察易知10206090，5157090，故可以猜想此推广式为：若，且，都不等于k(kZ)，
10、则有tantantantantantan1.证明如下：，tan()tancot，tantancot(1tantan)，tantantantantantan1.10.如图，在ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与CEF的周长相等试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性解如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等下面证明该结论的正确性：设内切球半径为R，则VABEFD(SABDSABESADFS四边形BEFD)RVAEFC(SAECSACFSECF)R，即SABDSABESADFS四边形BEFDSAECSACFSECF，两边同加SAEF可得结论