1、高考资源网（） 您身边的高考专家第1讲等差数列与等比数列 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171等差数列与等比数列基本量的运算第8题第9题数列是江苏高考考查的热点考查的重点是等差、等比数列的基础知识、基本技能、基本思想方法一般有两道题，一道填空题，一道解答题在填空题中，突出了“小、巧、活”的特点，属中高档题，解答题主要与函数、方程、推理证明等知识综合考查，属中等难度以上的试题，甚至是难题，多为压轴题2等差数列与等比数列的综合运用第20题第20题1必记的概念与定理(1)an与Sn的关系Sna1a2an，an(2)等差数列和等比数列等差数列等比数列定义anan1常数(n
2、2)常数(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an1anan2(n1，nN*)an为等差数列(3)通项公式法：anpnq(p、q为常数)an为等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A、B为常数)an为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：aanan2(n1，nN*)(an0) an为等比数列(3)通项公式法：ancqn(c、q均是不为0的常数)an为等比数列判定方法(5)an为等比数列，an0logban为等差数列(4)an为等差数列ban为等比数列(b0且b1)2记住几个常用的公式与结论(1)等差数列的性质在等差数列an中，a
3、nam(nm)d，d；当公差d0时，等差数列an的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Snna1dn2(a1)n是关于n的常数项为0的二次函数若公差d0，则数列为递增等差数列，若公差d0，q1，则an为递增数列；若a11, 则an为递减数列；若a10，0q1，则an为递减数列；若a10，0q1, 则an为递增数列；若q0，a20，所以a22a12a2，即2(2)证明：法一：令m1，n2，得(S3S1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得S4S12a4，即2a1a2a3a4又2，所以a44a28a1，a34a1由(SmnS1)2
4、4a2na2m，得(Sn1S1)24a2na2，(Sn2S1)24a2na4两式相除，得，所以2，即Sn2S12(Sn1S1)，从而Sn3S12(Sn2S1)以上两式相减，得an32an2，故当n3时，an是公比为2的等比数列又a32a24a1，从而ana12n1，nN*显然，ana12n1满足题设，因此an是首项为a1，公比为2的等比数列法二：在(SmnS1)24a2na2m中，令mn，得S2nS12a2n令mn1，得S2n1S12，在中，用n1代替n得，S2n2S12a2n2，得a2n122a2n2()，得a2n22a2n222()，由得a2n1将代入，得a2n12a2n，将代入得a2n2
5、2a2n1，所以2又2，从而ana12n1，nN*显然ana12n1满足题设因此an是首项为a1，公比为2的等比数列递推数列问题常见的处理方法(1)将第n项和第n1项合并在一起，看是否是一个特殊数列；若递推关系式含有an与Sn，则考虑是否可以将an与Sn进行统一(2)根据递推关系式的结构特征确定是否为熟悉的、有固定方法的递推关系式向通项公式的转换类型，否则可以写出数列的前几项，看能否找到规律，即先特殊、后一般、再特殊对点训练3设Sn为数列an的前n项和，对任意的nN*，都有Sn2an，数列bn满足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式；(2)判断数列
6、是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式解 (1)当n1时，a1S12a1，解得a11；当n2时，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，故数列an的通项公式为an(2)因为a11，所以b12a12因为bn，所以1，即1(n2)所以数列是首项为，公差为1的等差数列所以(n1)1，故数列bn的通项公式为bn等差数列与等比数列的综合运用典型例题 (2018高考江苏卷)设an是首项为a1，公差为d的等差数列，bn是首项为b1，公比为q的等比数列(1)设a10，b11，q2，若|anbn|b1对n1，2，3，4均成立，求d的取值范围；(2)若a1b1
7、0，mN*，q(1，证明：存在dR，使得|anbn|b1对n2，3，m1均成立，并求d的取值范围(用b1，m，q表示)【解】(1)由条件知：an(n1)d，bn2n1，因为|anbn|b1对n1，2，3，4均成立，即|(n1)d2n1|1对n1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得d，因此，d的取值范围为(2)由条件知：anb1(n1)d，bnb1qn1若存在d，使得|anbn|b1(n2，3，m1)成立，即|b1(n1)db1qn1|b1(n2，3，m1)，即当n2，3，m1时，d满足b1db1因为q(1，则10，对n2，3，m1均成立因此，取d0时，|anbn|b1对n
8、2，3，m1均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n2，3，m1)当2nm时，当1q2时，有qnqm2，从而n(qnqn1)qn20因此，当2nm1时，数列单调递增，故数列的最大值为设f(x)2x(1x)，当x0时，f(x)(ln 21xln 2)2x0，所以f(x)单调递减，从而f(x)f(0)1当2nm时，2f0，所以bnbn12，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列，所以bn2n1因为bn1mbn2(bnmbn1)(bn1bn)m(bn2bn1)22m，所以对任意实数m，数列bnmbn1都是等差数列，且该数列的公差为22m(3)因为当n2时，cn，又c1也符合此式，所以cn，
9、所以Tn(2)()()2又dn2，所以Tndn22，当n6时，0，所以Tn6时，0，所以Tndn1(2019南京模拟)在等比数列an中，a2a616，a4a88，则_解析 法一：设等比数列an的公比为q，由a2a616得aq616，所以a1q34由a4a88，得a1q3(1q4)8，即1q42，所以q21于是q101法二：由等比数列的性质，得aa2a616，所以a44，又a4a88，所以或因为aa4a80，所以则公比q满足q41，q21，所以q101答案 12(2019宿迁模拟)若等差数列an满足a2S34，a3S512，则a4S7的值是_解析 由S33a2，得a21，由S55a3，得a32，
10、则a43，S77a4，则a4S78a424答案 243(2019江苏名校高三入学摸底)已知数列an满足a12，an1，bn(nN*)，则数列bn的通项公式是_解析 由已知得(nN*)，则n(nN*)，即bn1bnn(nN*)，所以b2b11，b3b22，bnbn1(n1)，累加得bnb1123(n1)，又b11，所以bn1答案 bn4已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q_解析 因为2(anan2)5an1，所以2an(1q2)5anq，所以2(1q2)5q，解得q2或q因为数列为递增数列，且a10，所以q1，所以q2答案 25(2019苏锡常镇四市
11、高三教学调研(一)中国古代著作张丘建算经中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里那么这匹马最后一天行走的里程数为_解析 由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为an，易知公比q，则S72a1a1700，所以a1700，所以a7a1q6700，所以这匹马最后一天行走的里程数为答案 6(2019苏州市第一学期学业质量调研)设Sn是等比数列an的前n项和，若，则_解析 法一：设等比数列an的公比为q，若公比q为1，则，与已知条件不符，所以公比q1，所以Sn，因为，所以，所以q52
12、，所以法二：因为，所以不妨设S5a，S103a，a0，易知S5，S10S5，S15S10，S20S15成等比数列，由S5a，S10S52a，得S15S104a，S20S158a，从而S2015a，所以答案 7设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么anbn组成的数列的第37项的值为_解析 an，bn都是等差数列，则anbn为等差数列，首项为a1b1100，d(a2b2)(a1b1)1001000，所以anbn为常数数列，第37项为100答案 1008(2019南京市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列an中，a23，a427，S2n为该数列的前2n项和，T
13、n为数列anan1的前n项和，若S2nkTn，则实数k的值为_解析 因为各项均为正数的等比数列an中，a23，a427，所以a11，公比q3，所以S2n，an3n1令bnanan13n13n32n1，所以b13，数列bn为等比数列，公比q9，所以Tn因为S2nkTn，所以k，解得k答案 9(2019泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列an及公比为2的等比数列bn满足a1b10，a2b20，则a3b3的取值范围是_解析 法一：由题意可得，该不等式组在平面直角坐标系a1Ob1中表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当a3b3a144b1经过点(2，2)时取得最大值2，则a3b32法二：由题意可得，
14、则a3b3a144b12(a1b1)3(a12b1)42，故a3b3的取值范围是(，2)答案 (，2)10在数列an中，nN*，若k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0其中所有正确判断的序号是_解析 由等差比数列的定义可知，k不为0，所以正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比q1时，an不是等差比数列，所以错误；数列0，1，0，1，是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以正确答案 11(
15、2019宝鸡模拟)已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解 (1)证明：因为an1an6an1(n2)，所以an12an3an6an13(an2an1)(n2)又a15，a25，所以a22a115，所以an2an10(n2)，所以3(n2)，所以数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，所以an13n12(an3n)又因为a132，所以an3n0，所以an3n是以2为首项，2为公比的等比数列所以an3n2(2)n1，即an2(2)n13n
16、(nN*)12(2019苏州市高三模拟)已知数列an满足：a1，an1anp3n1nq，nN*，p，qR(1)若q0，且数列an为等比数列，求p的值；(2)若p1，且a4为数列an的最小项，求q的取值范围解 (1)因为q0，an1anp3n1，所以a2a1pp，a3a23p4p由数列an为等比数列，得，解得p0或p1当p0时，an1an，所以an，符合题意；当p1时，an1an3n1，所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(133n2)3n1，所以3符合题意所以p的值为0或1(2)因为p1，所以an1an3n1nq，又a4为数列an的最小项，所以，即，所以3q此时a2a11q0，a
17、3a232qa2a3a4当n4时，令bnan1an，bn1bn23n1q23410，所以bn1bn，所以0b4b5b6，即a4a5a6a7综上所述，当3q时，a4为数列an的最小项，即所求q的取值范围为13已知数列an，对于任意n2，在an1与an之间插入n个数，构成的新数列bn成等差数列，并记在an1与an之间插入的这n个数的均值为Cn1(1)若an，求C1，C2，C3；(2)在(1)的条件下是否存在常数，使Cn1Cn是等差数列？如果存在，求出满足条件的，如果不存在，请说明理由解 (1)由题意a12，a21，a35，a410，所以在a1与a2之间插入1，0，C1在a2与a3之间插入2，3，4
18、，C23在a3与a4之间插入6，7，8，9，C3(2)在an1与an之间插入n个数构成等差数列，d1，所以Cn1假设存在使得Cn1Cn是等差数列所以(Cn1Cn)(CnCn1)Cn1Cn(CnCn1)(1)n常数，所以1即1时，Cn1Cn是等差数列14(2019无锡期中检测)在等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b11，其前n项和为Tn，且b2S211，2S39b3(1)求数列an和数列bn的通项公式；(2)问是否存在正整数m，n，r，使得Tnamrbn成立？如果存在，请求出m，n，r的关系式；如果不存在，请说明理由解 (1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0)，则解得d3，q2所以an3n，bn2n1(2)因为Tn122n12n1，所以有2n13mr2n1(*)若r2，则r2n12n1，(*)不成立，所以r1，m若n为奇数，当n1时，m0，不成立， 当n1时，设n2t1，tN*，则mZ；若n为偶数，设n2t，tN*，则m2，因为Z，所以mZ综上所述，存在正整数m，n，r，使得Tnamrbn成立，此时n为大于1的奇数，r1，且m- 15 - 版权所有高考资源网