1、阶段检测试题(二)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值1,5,18三角函数的图象与性质8,11,15,21解三角形2,14,19,22平面向量的运算4,13平面向量基本定理及应用3,16平面向量的数量积及应用6,7,10,20综合问题9,12,16,17一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015台州模拟)sin 15cos 15等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题sin 15cos 15=sin 30=.2.(2016嘉兴外国语学校月考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=,b=1,则c等于
2、(B)(A)1(B)2(C)-1(D)解析:法一(余弦定理)由a2=b2+c2-2bccos A得3=1+c2-2c1cos =1+c2-c,所以c2-c-2=0,所以c=2或-1(舍去).法二(正弦定理)由=,得=,所以sin B=,因为ba,所以B=,从而C=,所以c2=a2+b2=4,所以c=2.3.(2015宁城县一模)在ABC中,点G是ABC的重心,若存在实数,使=+,则(A)(A)=,=(B)=,=(C)=,=(D)=,=解析:因为点G是ABC的重心,所以点G分中线为,所以=(+)=(+),因为=+,所以=.4.(2015东北三校联合二模)已知向量与向量a=(1,-2)的夹角为,|
3、=2,点A的坐标为(3,-4),则点B的坐标为(A)(A)(1,0) (B)(0,1) (C)(5,-8)(D)(-8,5)解析:由题意可设=a(0,|)的最小正周期是,若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象(C)(A)关于点(,0)对称(B)关于点(,0)对称(C)关于直线x=对称(D)关于直线x=对称解析:因为f(x)最小正周期是,所以=2,f(x)=sin(2x+),若其图象向左平移个单位,则得g(x)=sin(2x+),若g(x)=sin(2x+)为奇函数,则+=k,=k-,因为|0)的最小正周期为,为了得到f(x)的图象,只需将函数g(x)=sin(x+)的
4、图象(C)(A)向左平移个单位长度(B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度(D)向右平移个单位长度解析:由于函数f(x)=cos(x+) (xR,0)的最小正周期为=,所以=2,f (x)=cos(2x+),故g(x)=sin(x+)=sin(2x+)=cos(2x+-)=cos(2x-).把函数g(x)=cos(2x-)的图象向左平移个单位长度,可得y=cos2(x+)-=cos(2x+)=f(x)的图象.12.(2015兰州二模)在ABC中,=7,|-|=6,则ABC面积的最大值为(C)(A)24(B)16(C)12(D)8解析:设A,B,C所对边分别为a,b,c,由=7,|-|=
5、6,得bccos A=7,a=6,SABC=bcsin A=bc=bc=,由余弦定理可得b2+c2-2bccos A=36,得b2+c2=50,所以b2+c22bc,所以bc25,当且仅当b=c=5时取等号,所以SABC=12,故ABC的面积的最大值为12.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016成都诊断)在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为.解析:设图中每个小正方形的边长为1,则a=(2,1),b=(-2,-2),c=(1,-2),所以xa+yb=(2x-2y,x-2y),因为
6、c与xa+yb共线,所以-2(2x-2y)=x-2y,所以5x=6y,即=.答案:14.(2016杭州质检)在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(acos B-bcos A)=2b2,则=.解析:因为c(acos B-bcos A)=2b2,所以由余弦定理可得ac-bc=2b2,即a2+c2-b2-b2-c2+a2=4b2,即a2=3b2,则a=b,所以=.再利用正弦定理可得=.答案:15.(2015金华模拟)已知函数f(x)=2sin(x+)(0)的图象如图所示,则=,若将函数f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到一个偶函数,则=.解析:由题图知,T=-(-)=,即T
7、=,即=2,则f(x)=2sin(2x+),由五点对应法可得2+=,解得=-,即f(x)=2sin(2x-),将函数f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到y=2sin(2x+2-),此时函数为偶函数,则2-=+k,kZ,解得=+,kZ,当k=0时, =.答案:216.(2015金华一模)已知点A(1,-1),B(4,0),C(2,2),平面区域D由所有满足=+(1a,1b)的点P(x,y)组成的区域.若区域D的面积为8,则a+b的最小值为.解析:点A(1,-1),B(4,0), C(2,2),所以=(3,1),=(1,3),则cosBAC=,故sinBAC=,若平面区域D由所有满足=+(1a
8、,1b)的点P(x,y)组成的区域,则区域D的面积S=(a-1)(b-1)sinBAC=8ab-(a+b)+1=8,即ab-(a+b)=0,即-(a+b)0,解得a+b4或a+b0(舍去),即a+b的最小值为4.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2015江西一模)在平面直角坐标系xOy中,角的终边经过点P(3,4).(1)求sin(+)的值;(2)若P关于x轴的对称点为Q,求的值.解:(1)因为角的终边经过点P(3,4),所以sin =,cos=,所以sin(+)=sin cos +cos sin =+=.(2)因为P(3,4)关于x轴的对称点为Q,所以
9、Q(3,-4).所以=(3,4),=(3,-4),所以=33+4(-4)=-7.18.(本小题满分12分)(2015肇庆二模)已知向量a=(2,sin )与b=(1,cos )互相平行,其中(0, ).(1)求sin 和cos 的值;(2)若sin(-)=,0,求cos 的值.解:(1)因为向量a=(2,sin )与b=(1,cos )互相平行,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,由(0, ),则sin =,cos =.(2)因为sin(-)=,0,又(0, ),则-b,所以B=.(2)由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B,故有1=3+c2-3c,解得c=2或c=1.
10、20.(本小题满分12分)已知两个不共线的向量a,b,它们的夹角为,且|a|=3,|b|=1,x为正实数.(1)若a+2b与a-4b垂直,求tan ;(2)若=,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并判断此时向量a与xa-b是否垂直.解:(1)因为a+2b与a-4b垂直,所以(a+2b)(a-4b)=0,所以a2-2ab-8b2=0,所以32-231cos -812=0,所以cos =,又(0,),sin =,所以tan =.(2)|xa-b|=,故当x=时,|xa-b|取最小值为,此时a(xa-b)=xa2-ab=9-31cos =0,故向量a与xa-b垂直.21.(本小题满分12分)(2
11、015温州模拟)已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x+a.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若f(x)在区间-,上的最大值与最小值的和为,求a的值.解:(1) 因为f(x)=sin 2x+(1+cos 2x)+a=sin(2x+)+a,所以其最小正周期T=;由2k+2x+2k+(kZ)得k+xk+(kZ),所以f(x)的单调递减区间是k+,k+ (kZ).(2)因为 -x,所以-2x+,所以-sin(2x+)1,所以asin(2x+)+a+a,即f(x)在区间-,上的值域为a,a+,又f(x)在区间-,上的最大值与最小值的和为,所以a+a+=,则a=0.22.(本小题满分12分)(2015浙江全真模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1+=.(1)求角A的大小;(2)若函数f(x)=2sin2(x+)-cos 2x,x,在x=B处取到最大值a,求ABC的面积.解:(1)因为1+=,所以=2sin C,又因为sin C0,所以cos A=,所以A=.(2)因为f(x)=2sin2(x+)-cos 2x=1+2sin(2x-),所以当2x-=,即x=时,f(x)max=3,此时B=,C=,a=3.因为=,所以c=,则S=acsin B=3=.