1、第2课时直线与椭圆的位置关系考点一直线与椭圆的位置关系判断【例1】已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即M3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只
2、有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点方法技巧研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.直线ykxk1与椭圆1的位置关系为(A)A相交 B相切C相离 D不确定解析：直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交考点二弦长问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线A
3、B的斜率为0时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程【解】(1)由题意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k1，所以直线AB的方程为
4、xy10或xy10.方法技巧已知椭圆C：1(ab0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积解：(1)由题意知，离心率e，|PF2|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可知F1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆C的方程，得，消去y得5x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|.考点三中点弦问题【例
5、3】(1)过椭圆1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是()A4x3y130 B3x4y130C4x3y50 D3x4y50(2)如图，已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为_【解析】(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.P(3,1)是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，x1x26，y1y22，故kAB，直线AB的方程为y1(x3)，即3x4y130，故选B.(2)设直线AB的方程为y
6、k(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，所以AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0.因为k0，所以xGb0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是(C)A. B. C. D.解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减得.因为kAB1，且x1x28，y1y22，所以，e，故选C.考点
7、四椭圆与向量的综合问题【例4】已知椭圆C：1(ab0)，e，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且(其中1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值【解】(1)由椭圆的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意；所以设l的方程为yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x22，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解
8、得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.方法技巧一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想.已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程解：(1)由题意知，e，得acb，不妨取C(0，b)，D(0，b)，(b1)(b1)1，b22，a2，椭圆E的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，(0，1)，(0，1)，不符合题意，不存在这样的直线
9、l.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程得整理得(12k2)x24kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，由得，(x2，y21)(x1,1y1)，x2x1，x1，x，解得k2，k，直线l的方程为yx1.解析几何问题中的“设而不求”1数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学2“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代
10、入等类型一中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【典例1】(1)ABC的三个顶点都在抛物线E：y22x上，其中A(2,2)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为_(2)抛物线E：y22x上存在两点关于直线yk(x2)对称，则k的取值范围是_【解析】(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G，则从而即M，又y2x1，y2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBC1，故直线BC的方程为y(1)，即4x4y50.(2)当k0时，显然成立当k0时，设两对称点为B(x1，
11、y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y2x1，y2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBC，由对称性知kBC，点M在直线yk(x2)上，所以y0k，y0k(x02)，所以x01.由点M在抛物线内，得y2x0，即(k)22，所以k0【典例2】已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？【解】假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，由两式相减得(x1x2)(x1x2)0，又1，1，所以2(x1x2)(y1y2)0，
12、所以kAB2，故直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.由消去y得2x24x30，因为162480，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点类型三求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【典例3】已知F为抛物线C：y22x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_【解析】法1：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：xty，则直线l1的斜率为，联立方程得消去x得y22ty10.
13、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22t，y1y21.所以|AB|y1y2|2t22，同理得，用替换t可得|DE|2，所以|AB|DE|24448，当且仅当t2，即t1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.法2：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：yk，l2：y.由消去y得k2x2(k22)x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21.由抛物线的定义知，|AB|x1x21112.同理可得，用替换|AB|中k，可得|DE|22k2，所以|AB|DE|222k242k2448，当且仅当2k2，即k1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.【答案】8
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