1、第七节立体几何中的向量方法课标要求考情分析能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用.1.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角2题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想，转化与化归思想.知识点一异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为，则cos，其中a，b分别是直线a，b的方向向量两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，)，所以公式中要加绝对值知识点二直线与平面所成角如图所示，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所
2、成的角，则sin|cosa，n|.直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为0，所以公式中要加绝对值知识点三二面角1若AB，CD分别是二面角l的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的平面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)2平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角l的平面角大小为或.设二面角的平面角大小为，则|cos|cos|，如图(2)(3)利用公式求二面角的平面角时，要注意n1，n2与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线
3、所成的角()(2)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则ac，aB()(3)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，则直线l与平面所成的角为120.()(4)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45.()2小题热身(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为(D)ABCD(2)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为. (3)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形
4、，PD底面ABCD，PDDC则二面角CPBD的大小为60.解析：(1)如图建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，则(1,1,0)，设异面直线DE与AC所成的角为，则cos|cos，|.(2)以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0，2)点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以(2,0,2)，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则cos.又，所以.(3)以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设PDDC1，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，所以(0,0,1)，(0,1，1)，
5、(1,1,0)，(1，0,0)，设平面PBD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10得令x11，得n1(1，1,0)设平面PBC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，由n20，n20得令y21得n2(0,1,1)设二面角CPBD的大小为，则cos，由图形得二面角的平面角为锐角，所以60.考点一两条异面直线所成的角【例1】(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，则EF与A1D所成角的大小为()A60B90C45D75(2)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF平面ABCD，EFAB，AD2，ABAF2EF1，若P是DF的中点
6、，则异面直线BE与CP所成角的余弦值是_【解析】(1)如图所示，以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，易得E(2,2,1)，F(1,1,2)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，(1，1,1)，(2,0,2)，220，故选B(2)因为直线AF平面ABCD，ABAD，所以以A为坐标原点，分别以AB，AD，AF所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则E，B，P，C(1,2,0)，1，1，cos，则异面直线BE与CP所成角的余弦值为.【答案】(1)B(2)方法技巧(1)两异
7、面直线所成角的余弦值等于两条异面直线的方向向量所成角的余弦值的绝对值；(2)在证明两直线垂直时，可证两条直线所成的角为90；(3)注意两异面直线所成角的范围是(0，90.)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求直线PB与AC所成角的余弦值解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD所以PABD因为PAACA，所以BD平面PAC(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则P(0，2)
8、，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0，2，0)，设直线PB与AC所成角为，则cos.考点二直线与平面所成的角【例2】如图1，平面多边形PABCD中，PAPD，AD2DC2BC4，ADBC，APPD，ADDC，E为PD的中点，现将APD沿AD折起，如图2，使PC2.(1)证明：CE平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值【解】(1)证明：取PA的中点H，连接HE，BH，如图E为PD的中点，HE为APD的中位线，HEAD，且HEAD又ADBC，BCAD，HEBC，HEBC，四边形BCEH为平行四边形，CEBH.BH平面ABP，CE平面ABP，CE平面AB
9、P.(2)由题意知PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形取AD的中点F，连接BF，PF，AD2BC4，平面多边形PABCD中，P，F，B三点共线，且PFBF2，翻折后，PFAD，BFAD，PFBFF，DF平面PBF，BC平面PBF，PB平面PBF，BCPB在直角三角形PBC中，PC2，BC2，PB2，PBF为等边三角形取BF的中点O，DC的中点M，连接PO，OM，则POBF，DF平面PBF，DFPO.又DFBFF，PO平面ABCD以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,2,0)，P(0,0，)，A(1，2,0)，E，(2,2,0)
10、，(1,0，)设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则故可取n(3，3，)，cosn，直线AE与平面ABP所成角的正弦值为.如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且AEBFAB1，将ADE沿着线段AD折起，同时将BCF沿着线段BC折起，使得E，F两点重合为点P.(1)求证：平面PAB平面ABCD；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值解：(1)证明：四边形ABCD为正方形，ADAB，又ADAE，即ADPA，且PAABA，AD平面PAB，又AD平面ABCD，平面PAB平面ABCD(2)如图，PAB为正三角形，CD中点为M，AB中点为O，连接OM，OP，以O为坐标原点，OB所在
11、直线为x轴，OM所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，AEBFAB1，B，C，D，P，(1,0,0)，设n(x，y，z)是平面PCD的法向量，则即令z1得x0，y，即n，|n|，设直线PB与平面PCD所成的角为，则sin，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.考点三二面角【例3】(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值【解】(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，
12、且MEB1C又因为N为A1D的中点，所以NDA1D由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.方
13、法技巧(1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零列方程组求解.(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解：(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故
14、B1C1BE.又BEEC1，且EC1与C1B1相交于C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m，所以，二面角BECC1的正弦值为.考点四空
15、间角中探究性问题【例4】(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值【解】(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB由OPOB，OPAC，ACOBO知PO平面ABC(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0
16、,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一个法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2)，则(a，4a，0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由n0，n0得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|，所以，解得a4(舍去)，a，所以n(，)又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.方法技巧这类综合问题通常是已知某个空间角或某种特殊关系求另一个空间角，题中数量关系存在未知量，一般解法是通过方程解出未知量，再求出另一个空间角.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB2，点M为棱PC
17、的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点(E，F与所在棱的端点不重合)，且满足BEBF.(1)证明：平面PEF平面MBD；(2)当三棱锥FPEC的体积最大时，求二面角CMFE的余弦值解：(1)证法1：连接AC交BD于点N，连接MN.因为底面ABCD为正方形，所以ACBD，ANCN，又PMMC，所以MNPA又PA底面ABCD，所以MN底面ABCD，又AC底面ABCD，所以ACMN.又BDMNN，BD，MN平面MBD，所以AC平面MBD因为BEBF，BABC，所以，即EFAC，所以EF平面MBD又EF平面PEF，所以平面PEF平面MBD证法2：因为PA底面ABCD，ABAD，所以以A为坐标原点，
18、的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则P(0,0,2)，M(1,1,1)，B(2,0,0)，D(0,2,0)设E(t,0,0)，则F(2,2t,0)，(t,0，2)，(2,2t，2)，(1，1，1)，(1,1，1)设m1(a1，b1，c1)为平面PEF的法向量，则即可取m1(2，2，t)设m2(a2，b2，c2)为平面MBD的法向量，则即可取m2(1,1,0)因为m1m22121t00，所以m1m2.所以平面PEF平面MBD(2)设BEBFx，由题意知，SCEF(2x)x，又PA2，所以V三棱锥FPECV三棱锥PEFC(2x)x2(2x)x(x1)2.易知当三棱锥FPEC的体积最大时，x1，即此时E，F分别为棱AB，BC的中点以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则C(2,2,0)，F(2,1,0)，E(1,0,0)，M(1,1,1)，(1,0，1)，(1，1,0)，(0,1,0)设n(x1，y1，z1)是平面MEF的法向量，则即可取n(1，1,1)设m(x2，y2，z2)是平面MCF的法向量，则即可取m(1,0,1)则cosn，m.由图知所求二面角为钝二面角，所以二面角CMFE的余弦值为.
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