1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求考情分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1.与点、线、面的位置关系有关命题真假的辨别及异面直线所成的角是高考考查的重点2题型主要以选择题、填空题的形式出现解题要求有较强的空间想象能力和推理论证能力.知识点一平面的基本性质1四个公理2.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面知识点二空间直线的位置关系1位置关系的分类：2异面直线所成的角：(1
2、)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补知识点三1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，记作A()(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()2小题热身(1)在空间中，可以确定一个平面的条件是(D)A两两相交的三条直线B三条直线，其中的一条与另外两条分别相交C三
3、个点D三条直线，它们两两相交，但不交于同一点(2)下列说法正确的是(D)A若a，b，则a与b是异面直线B若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C若a，b不同在平面内，则a与b异面D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面(3)以下四个命题中，正确命题的个数是(B)不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3(4)如图，l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过(D)A点AB点BC点C但不过
4、点MD点C和点M(5)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为.解析：(3)显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故正确的个数是1.(4)AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上(5)如图，取AB的中点E，连接B1E，则AMB1E.取EB的中点F，连接FN，则B1EFN，因此AMFN，连接CF，则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成
5、的角.设AB1，在CFN中，CN，FN，CF.由余弦定理得cos|cosCNF|.考点一平面的基本性质【例1】已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点【证明】(1)连接D1B1，如图所示因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为，又设平面BDEF为.
6、因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.所以Q是与的公共点，同理，P是与的公共点所以PQ.又A1CR，所以RA1C，R，且R.则RPQ，故P，Q，R三点共线(3)EFBD且EFBD，DE与BF相交，设交点为M，则由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，点M平面B1BCC1.又平面D1DCC1平面B1BCC1CC1，MCC1.DE，BF，CC1三线交于点M.方法技巧(1)证明不共线的四点共面,即证由这四点组成的两条直线平行或相交.或由三点确定一个平面，再证明第4个点在该平面上.(2)证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交
7、线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上.1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(D)解析：A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面2.如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线证明：因为ABCD，所以AB，CD确定一个平面.又因为ABE，AB，所以E，E，即E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线考点二空间两条直线的位置
8、关系【例2】(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线【解析】取CD的中点O，连接ON，EO，因为ECD为正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD设正方形ABCD的边长为2，则EO，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP，CP，所以BM2MP2BP222227，
9、得BM，所以BMEN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B【答案】B方法技巧(1)要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断.(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来推断；二是利用排除法.1已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则aC其中正确的个数为(B)A0B1C2D3解析：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相
10、交，还可能异面，所以错，显然成立2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是(D)A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行解析：连接D1E并延长交AD于M点，因为A1E2ED，可得，M为AD中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF2FA，可得N为AD中点，所以M，N重合且，.所以，所以EFBD1.考点三异面直线所成的角【例3】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()ABCD【解析】连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC
11、1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.【答案】D1.(变条件)将本例条件“AA12AB2”变为“AB1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，其他条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.解析：由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，得AA11.此时正四棱柱变为正方体ABCDA1B1C1D1.由图知A1B与AD1所成角为A1BC1或其补角，连接A1C1，则A1BC1为等边三角形，A1BC160，cosA1BC1，故异面直线A1B与AD1所
12、成角的余弦值为.2(变条件、变结论)将本例条件“AA12AB2”变为“AB1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，其他条件不变，则的值为3.解析：设t，则AA1tABAB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1.t3，即3.方法技巧用平移法求异面直线所成的角的三步骤,(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.在四面体ABCD中，BDAD，CDAD，BDBC，BDAD1，BC2，则异面直线AB与CD
13、所成角的余弦值为(D)ABCD解析：解法1：如图，在平面BCD内，过点D作BC的平行线与过点B作的CD的平行线相交于E，连接AE，则四边形BCDE为平行四边形，所以DEBC2，且ABE为异面直线AB与CD所成的角因为ADBD，ADCD，所以AD平面BCD，且AB，则ADDE，所以AE.因为BDBC，所以DC，则BECD，于是在ABE中，由余弦定理，得cosABE，故选D解法2：以D为坐标原点，在平面BCD内过D与BD垂直的直线为x轴，以DB，DA所在的直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(2,1,0)，D(0,0,0)，所以(0,1，1)，(
14、2，1,0)，则cos，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故选D立体几何中的截面问题【典例】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AB的中点试画出过点E，C，D1三点的截面，并求出此截面的面积【解】如图，连接CE并延长交DA的延长线于点P，连接D1P交A1A于点F，连接FE，D1C，则四边形CD1FE为所作的截面因为E为棱AB的中点，所以E，A，F分别是CP，DP，D1P的中点，所以EF是PCD1的中位线，则CPD1P，CD1，故四边形CD1FE是等腰梯形因为SPCD1，所以S梯形D1CEFSPCD1.【素养解读】(1)用一个平面去截一个多面体，平面与多面体的交线是一个
15、封闭的平面多边形，这个多边形就是多面体的截面公理3(如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线)是作多面体的截面的重要依据(2)作截面时，要注意截面的完整性，应画出截面与多面体各面的交线(如相交)确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是这两个平面的交线如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值解：(1)交线围成的正方形EFGH如图所示(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EFGH为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.
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