1、2014年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题(理科)命题：安庆市高考命题研究课题组本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.第卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知为虚数单位，复数，为其共轭复数，则等于A. B. C. D. 2. 已知集合，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为 A. B.C.第2题图 D. 3. 已知等差数列中，则A.8B.21C.28 D.354. 在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，但其中在处数据丢失.按照
2、规则，甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分，用和分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则第4题图A. B. C. D. 和之间的大小关系无法确定5. 右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体的体积为第5题图A. 2 B. C. D. 6. 在极坐标系中，圆:上到直线：距离为1的点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若，则等于A.B.C. D. 8. 数列共有5项，其中，且，则满足条件的不同数列的个数为A. 3 B. 4C. 5D. 69. 已知点、，直线与线段相交，则的最小值为A.B. C. D. 10. 设，
3、则、的大小关系是A. B. C. D. 第卷 （非选择题 满分100分）二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分）11. 如果（为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含项的系数为 .12. 在中，分别为角的对边，若，且,则边等于 .13. 在如图所示的程序框图中，若输出的，则输入的的最大值为 .14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为 .15. 如图，设，且.当时，定义平第12题图面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的有 .（填上所有正确结论的序号）设、，若，则；设，
4、则；设、，若，则；第15题图设、，若，则；设、，若与的夹角，则.三、解答题：（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本题满分12分）已知向量，函数，.（）求函数的图像的对称中心坐标；第16题图（）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解析式并作出它在上的图像.17（本题满分12分）某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有、两个定点投篮位置，在点投中一球得2分，在点投中一球得3分. 其规则是：按先后再的顺序投篮.教师甲在和点投中的概率分别是，且在、两点投中与否相互独立.（）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；
5、（）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.18.（本题满分12分） 已知函数，（）.（）若有最值，求实数的取值范围；（）当时，若存在、，使得曲线在与处的切线互相平行，求证：.19（本题满分13分）如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且.（）求证：；第19题图（）若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.（本题满分13分）已知椭圆的方程为,其中.（）求椭圆形状最圆时的方程；（）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上. 21（本题满分13分）已知数列满足，()（）若，数列单调递
6、增，求实数的取值范围；（）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.2014年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678910答案ADCBDBCBBA1. 解析：，选A.2. 解析：,则,阴影部分表示的集合为，选D.3. 解析：由得，所以，选C.4. 解析：设图中甲、乙丢失的数据分别为，则，,选B.5. 解析：多面体为四棱锥，利用割补法可得其体积，选D.6. 解析：直线的方程为，圆的方程为，圆心到直线的距离为1，故圆上有2个点到距离为1，选B.7
7、. 解析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，且不妨设，由 ，得，.又，即，解得，选C.8. 解析：设，则等于1或-1，由，知共有3个1，1个-1.这种组合共有个，选B.9. 解析：由已知有，作出可行域，令，则的最小值为点到直线第9题图的距离，此时，所以的最小值为，选B.10. 解析：令，则，所以函数为增函数，.又，选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)11. 解析： 的展开式所有项的系数和为， ，其展开式中含项的系数为.12. 解析：由及正、余弦定理知：，整理得，由联立解得：.13. 解析：当输出的时，设输入的值为, 且,解得.最大值为.1
8、4. 解析：函数有三个零点等价于方程有且仅有三个实根. ，作函数的图像，如图所示，由图像可知应满足：，故.15. 解析：显然正确；，所以错误；由得,所以，所以，故正确；，所以错误；根据夹角公式，又，得，故，即 ，正确所以正确的是、.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16（本题满分12分）解析：（） 4分由于得：，所以.所以的图像的对称中心坐标为 6分（）=，列表： 描点、连线得函数在上的图象如图所示：12分17（本题满分12分）解答：设“教师甲在点投中”的事件为，“教师甲在点投中”的事件为.（）根据题意知X的可能取值为0,2,3,4,5,7， 6分X
9、023457P所以X的分布列是： 8分（）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形.这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为： 12分18.（本题满分12分）解析：（） ，由知，当时，在上递增，无最值；当时，的两根均非正，因此，在上递增，无最值；当时，有一正根，在上递减，在上递增；此时，有最小值；所以，实数的范围为. 7分（）证明：依题意：，由于，且，则有. 12分19.（本题满分13分）解答：（）平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，.是直角，平面,.6分() 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建
10、立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，第19题图，由题设可知，.设平面的一个法向量为， 由，得，取，得.又平面的一个法向量为，.平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 13分（其他解法可参考给分）20.（本题满分13分）解析：（）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.，当且仅当时取等号.由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为. 5分（）设交点，过交点的直线与椭圆相切.(1)当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为. 6分(2)当斜率存在且非零时，则设斜率为，则直线：，与椭圆方程联立消，得：.由相切，化简整理得. 因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程的两根，故，整理得：.又也满足上式，故点的轨迹方程为，即点在定圆上. 13分21.（本题满分13分）解析：（）若，则，由，得 或，所以只需 或.所以实数的取值范围为. 6分() 对任意成立的充要条件为.必要性：由，解出；（另解：假设，得，令， ，可得：，即有.） 8分 充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立. 证明：（1）显然时，结论成立；（2）假设时结论成立，即，当时，.考察函数， 若 ，由，知在区间上单调递增.由假设得. 若，对总有，则由假设得.所以，时，结论成立，综上可知：当时，对一切，成立. 故对任意成立的充要条件是. 13