1、第2讲圆锥曲线的概念、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程1.(2015广东卷)已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于(B)(A)2(B)3(C)4(D)9解析:由4=(m0)m=3,故选B.2.若圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为(A)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:解方程组得或因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以A(0,-3),B(0,3),所以a=3,2c=18,所以b2=()2-3
2、2=72,所以双曲线方程为-=1.故选A.3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为(C)(A)18(B)24(C)36(D)48解析: 设抛物线方程y2=2px(p0),F为抛物线焦点,则直线l垂直于x轴,AF=6,所以ABP的边AB上的高h=6,所以SABP=126=36.故选C.4.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|P
3、M|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:75.(2015佛山模拟)设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线与椭圆+=1的一个公共点,则PF1F2的面积等于.解析:由题知,双曲线和椭圆焦点相同,假设点P是两曲线在第一象限的交点,则有|PF1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=14,解得|PF1|=8,|PF2|=6,又|F1F2|=10,故PF1F2是直角三角形,则其面积为24.答案:24圆锥曲线的几何性质6.(2014广东卷)若实数k满足0k5,则曲线-=1与曲线-=1的(A)(A)焦距相等 (B)离心率相等(C)虚半轴长相等(D)实半轴长相等解析
4、:因为0k0,16-k0,这两个方程表示的是双曲线.焦距都是2.故选A.7.(2013北京卷)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为(B)(A)y=2x(B)y=x(C)y=x (D)y=x解析:考查双曲线的离心率e=,渐近线方程y=x及a,b,c之间的关系a2+b2=c2.由=,令a=m,c=m(m0),则b=m,渐近线方程为y=x.故选B.8.(2014新课标全国卷)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(A)(A)(B)3(C)m(D)3m解析:-=1,因为m0,所以双曲线的焦点在x轴上,a2=3m,b2=3,所以一条渐近线为y=x,即
5、y=x,c2=a2+b2=3m+3,则焦点F(,0)到直线y-x=0的距离为d=.故选A.9. (2015黑龙江模拟)已知椭圆+=1(ab0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为(B) (A)(B)(C)(D)解析:由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OAAP,所以2b2=a2,=,故e=,故选B.10.(2015福建卷)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离
6、心率的取值范围是(A)(A)(B)(C)(D)解析:设椭圆的左焦点为F1,半焦距为c,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于,即,b1,所以b21,所以a2-c21,4-c21,解得0c,所以00)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.解析: 如图,在等边三角形ABF中,DF=p,BD=p,所以B点坐标为(p,-).又点B在双曲线上,故-=1.解得p=6
7、.答案:6一、选择题1.(2014安徽卷)抛物线y=x2的准线方程是(A)(A)y=-1(B)y=-2(C)x=-1(D)x=-2解析:抛物线的方程化为x2=4y,其准线方程为y=-1.故选A.2.(2015江西景德镇模拟)已知ABC的顶点B,C在椭圆+=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是(B)(A)10(B)20(C)8(D)16解析:设椭圆的另一焦点为F,由椭圆的定义知|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以ABC的周长为4a=45=20.3.(2015江西省重点中学协作体模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆
8、G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为(A)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:据题意知2a=12,得a=6,离心率e=,所以c=3,于是b2=9,故椭圆G的方程为+=1.4.(2015济宁模拟)若椭圆+=1(ab0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为(A)(A)y=2x(B)y=x(C)y=4x(D)y=x解析:设椭圆的焦距为2c,由题意知=,所以c=a,b=a,双曲线-=1的渐近线为y=x=2x.5.(2015山西大学附中模拟)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是(D)(A) (B)(C)或(D)或解析:因为m是2,8的等比中项,所
9、以m2=28=16,所以m=4,若m=4时,则椭圆x2+=1的方程为x2+=1,所以其离心率e=,若m=-4,则双曲线方程为x2-=1,离心率e=.故选D.6.(2014天津卷)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(A)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y=x与直线y=2x+10平行,所以=2且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为-=1.故选A.7.(2015赣州市模拟)F1是双曲线C:-=1(a0,b0)
10、的左焦点,点P是双曲线右支上一点,若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点,且|OM|=a(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为(B)(A)(B)(C)2(D)3解析:因为M是线段PF1的中点,|OM|=a,所以OMPF2,PF2x轴且|PF2|=2a,又由|PF1|-|PF2|=2a知,|PF1|=4a,在直角三角形F1PF2中,sinPF1F2=,所以PF1F2=30,故双曲线C的离心率e=.故选B.8.(2015江西上饶模拟)已知抛物线y2=8x,P为其上一点,点N(5,0),点M满足|=1,=0,则|的最小值为(C)(A)(B)4(C)(D)2解析:设点P(,y0)由题意知M点的轨迹
11、是以N(5,0)为圆心,1为半径的圆,PM为该圆的一条切线,所以|=.故选C.9.已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P使得F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(D)(A)(,)(B)(,1)(C)(,1)(D)(,)(,1)解析:根据题意,结合椭圆的图形得a-c2c且a2c(a=2c时只有当P点与短轴两个端点重合时,F1F2P才为等腰三角形).所以e0,b0)的右焦点F,直线x=与其渐近线交于A,B两点,且ABF为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是(D)(A)(,+)(B)(1,)(C)(,+)(D)(1,)解析:由题意设
12、直线x=与x轴的交点为D,因为三角形ABF为钝角三角形,且BFD=AFD,所以AFD,又|DF|=c-=,双曲线的渐近线方程为y=x,所以可得A,B两点坐标分别为(,),(,-),所以tanAFD=1,即ba,则e=0,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为(C)(A)|MO|-|MT|b-a(B)|MO|-|MT|0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线的离心率是.解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=x,2x+3y=0可化为y=-x,所以=,e=.答案:13.(2015江
13、西九江二模)已知直线2x-(m+)y-2=0(m0)与直线l:x=-1,抛物线C:y2=4x及x轴分别相交于A,B,F三点,若=2,则m=.解析:如图所示,点F及直线l分别是抛物线C的焦点和准线,过点B作BDl于D,则|BD|=|BF|,因为=2,所以ABD=60,所以=tan 60,解得m=.答案:14.已知点P(m,4)是椭圆+=1(ab0)上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若PF1F2的内切圆的半径为,则此椭圆的离心率为.解析:一方面PF1F2的面积为(2a+2c)r;另一方面PF1F2的面积为|yP|2c,所以(2a+2c)r=|yP|2c,所以(a+c)r=|yP|c,所以=,所
14、以(+1)=,又yP=4,所以=-1=-1=,所以椭圆的离心率为e=.答案:15.(2015大连市模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)左、右顶点为A1,A2,左、右焦点为F1,F2,P为双曲线C上异于顶点的一动点,直线PA1斜率为k1,直线PA2斜率为k2,且k1k2=1,又PF1F2内切圆与x轴切于点(1,0),则双曲线的方程为.解析:A1(-a,0),A2(a,0),F1(-c,0),F2( c,0),直线PA1的方程为y-0=k1(x+a),直线PA2的方程为y-0=k2(x-a),于是有y2=k1k2(x2-a2),又k1k2=1,所以x2-y2=a2,因此a=b,又由PF1F2内切圆与x轴切于点(1,0),知|PF1|-|PF2|=|1+c-(c-1)|=2a,解得a=1.故双曲线的方程为x2-y2=1.答案:x2-y2=1