1、第四节合情推理与演绎推理授课提示：对应学生用书第112页基础梳理1合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已
2、知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2类比推理的几个角度方法解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何；等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应
3、用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法类比结构有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间几何问题的结论四基自测1(基础点：归纳推理)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1Ban4n3Cann2 Dan3n1答案：C2(基础点：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点，因为f(x)x3在x0处的导数值为0，所以x0是f(x)x3的极值点，
4、以上推理()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确答案：A3(基础点：类比推理)在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R_答案：授课提示：对应学生用书第113页考点一归纳推理挖掘1与数字(数列)有关的推理/自主练透例1(1)(2020新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A2 011B2 012C2 013 D2 014解析根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a
5、，则第二层的三个数为a7，a8，a9，第三层的五个数为a14，a15，a16，a17，a18，这九个数之和为a3a245a809a104.由9a1042 012，得a212，是自然数答案B(2)(2020湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2x1)n展开，当n0，1，2，3，时，得到以下等式：(x2x1)01，(x2x1)1x2x1，(x2x1)2x42x33x22x1，(x2x1)3x63x56x47x36x23x1，观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，
6、第k行共有(2k1)个数，若(x2x1)5(1ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为_解析根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1ax)(x2x1)5的展开式中，x7项的系数为3045a75，得a1.答案1破题技法与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解挖掘2与等式(不等式)有关的推理/互动探究例2(1)观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律，第五个等式为_解析因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次
7、分别为123，1236，123410，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为12345621，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为132333435363212.答案132333435363212(2)观察下列特殊的不等式：2，275，由以上特殊不等式，可以猜测：当ab0，s，rZ时，有_解析2，275，由以上特殊不等式，可以猜测，当ab0，s，rZ时，有.答案破题技法与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解(2)与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找
8、出数列的项与项数的关系，列出即可求解挖掘3与图形有关的推理/互动探究例3(1)下图中为四个平面图形表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数平面图形顶点数边数区域数332812669510157现已知某个平面图形有1 009个顶点，且围成了1 007个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数为_解析由表归纳各平面图形的顶点数、边数、区域数的关系如下表：平面图形顶点数边数区域数关系3323232812686122695659210157107152VEFVFE2其顶点数V、边数E、区域数F满足关系式VFE2，故可猜想此平面图形的边数为1 0091 00722 014.答案2 014(2)如
9、图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点第n个图形由正n2边形扩展而来，其中nN，则第n个图形的顶点个数是()A(2n1)(2n2) B3(2n2)C2n(5n1) D(n2)(n3)解析由已知中的图形可以得到：当n1时，图形的顶点个数为1234，当n2时，图形的顶点个数为2045，当n3时，图形的顶点个数为3056，当n4时，图形的顶点个数为4267，由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n2)(n3)，故选D.答案D破题技法与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性考点二类比推理挖掘类比方法、类比结论、类比运算/ 互动探究例(1)我国古代称
10、直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()AS2SSSBS2CSS1S2S3 DS 解析如图，作ODBC于点D，连接AD，则ADBC，从而S2BC2AD2BC2(OA2OD2)(OB2OC2)OA2BC2OD2SSS.答案A(2)若点P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)
11、外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为_解析若点P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2(图略)，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.答案1破题技法类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论考点三演绎推理挖掘1简单的三段论/ 自主练透例1(1)(2020洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三
12、段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C，D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C，D都不正确，只有B正确答案B(2)(2020重庆检测)演绎推理“因为对数函数ylogax(a0且a1)是增函数，而函数ylogx是对数函数，所以ylogx是
13、增函数”所得结论错误的原因是()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D大前提和小前提都错误解析因为当a1时，ylogax在定义域内单调递增，当0a1时，ylogax在定义域内单调递减，所以大前提错误故选A.答案A破题技法用演绎推理证明问题时，大前提往往是定义、定理或一些固定结论，小前提为问题的条件，一般大前提可省略，当大前提、小前提及推理正确时，结论就正确挖掘2演绎推理、合情推理的生活应用/自主练透例2(1)(2019高考全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若
14、某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm解析设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得0.618，解得m169.890.由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得0.618，解得n42.071.由已知可得0.618，解得m178.218.综上，此人身高m满足169.890m178.218，所以其身高可能为175 cm.故选B.答案B(2)(2020福建泉州一模)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑
15、献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为acos ，bsin cos ，ccos sin ，对方的三个数及排序如表：第一局第二局第三局对方tan sin 当0时，我方必胜的排序是()Aa，b，c Bb，c，aCc，a，b Dc，b，a解析因为当0时，cos sin cos sin cos ，sin tan .由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c，b，a，故选D.答案D破题技法生活中的各种推理，是综合运用了各种推理方法与思维，正向思维，逆向思维，理性思维，特值思维等或结合一些数学运算等，培养学生的综合素养