1、基础达标检测一、选择题1(文)如果函数f(x)x4x2，那么f (i)()A2i B2iC6i D6i答案D解析因为f (x)4x32x，所以f (i)4i32i6i.(理)设函数f(x)(12x3)4，则f (1)等于()A0 B1C24 D24答案D解析f (x)4(12x3)3(6x2)，f (1)4(12)3(6)24.2下列求导数运算正确的是()A(x)1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cosx)2xsinx答案B解析(x)1，A错；(3x)3xln3，C错；(x2cosx)2xcosxx2sinx，D错；故选B.3(文)(2014黄石模拟)已知f(x)xlnx，
2、若f (x0)2，则x0()Ae2 BeC. Dln2答案B解析f(x)的定义域为(0，)，f (x)lnx1，由f (x0)2，即lnx012，解得x0e.(理)若函数f(x)x2bxc的图像的顶点在第二象限，则函数f (x)的图像是()答案C解析由题意可知在第二象限b0，又f (x)2xb，故选C.4(文)曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1 B2Ce D.答案A解析yex，故所求切线斜率kex|x0e01.(理)(原创题)设f0(x)sinx，f1(x)f 0(x)，f2(x)f 1(x)，fn1(x)f n(x)，nN，则f2 015(x)等于()Asinx BsinxCc
3、osx Dcosx答案D解析fn(x)fn4(x)，f2 015(x)f3(x)cosx.5(2013全国大纲)已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9 B6C9 D6答案D解析y4x32ax，y|x142a8a6.6(文)已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为()A(0,0) B(1,1)C(0,1) D(1,0)答案D解析由题意知，函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3，即f (x0)4x13，x01，将其代入f(x)中可得P(1,0)(理)若函数f(x)exsinx，则此函数图像在点(4，f(4)处的切线的倾
4、斜角为()A. B0C钝角 D锐角答案C解析f (x)exsinxexcosxex(sinxcosx)exsin(x)f (4)e4sin(4)0，则此函数图像在点(4，f(4)处的切线的倾斜角为钝角，故选C.二、填空题7(文)已知f(x)ax33x22，若f (1)4，则a的值为_答案解析f (x)3ax26x，又f (1)3a64，a.(理)若函数f(x)x3f (1)x2x5，则f (1)_.答案6解析f(x)x3f (1)x2x5，f (x)x22f (1)x1，f (1)(1)22f (1)(1)1，解得f (1)2.f (x)x24x1，f (1)6.8(文)(2013江西高考)若
5、曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.答案2解析yx1，y|x1，则切线方程为y2(x1)，切线方程过原点，则02(01)，2.(理)(2013广东高考)若曲线ykxlnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.答案1解析yk，y|x1k10，k1.9(文)函数f(x)在点(x0，f(x0)处的切线平行于x轴，则f(x0)_.答案解析f(x)，f (x)，切线斜率f (x0)0，x0e，f(x0)f(e).(理)(2013江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.答案2解析f(ex)xex，f(x)xlnx，f (x)1，f(1)112.
6、三、解答题10已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程分析(1)在点P处的切线以点P为切点(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标解析(1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率kyx.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40.xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20，解得x01或x02.故所求的切线方程为4x
7、y40或xy20.能力强化训练一、选择题1(文)已知f0(x)cosx，f1(x)f 0(x)，f2(x)f 1(x)，f3(x)f 2(x)，fn1(x)f n(x)，nN，则f2 014(x)()Asinx BsinxCcosx Dcosx答案D解析f1(x)sinx，f2(x)cosx，f3(x)sinx，f4(x)cosx，f5(x)sinx，故fn(x)的周期为4，f2014(x)f2(x)cosx.(理)设函数f(x)x3x2tan，其中，则导数f (1)的取值范围为()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f (x)sinx2cosx，f (1)sincos2sin.，.sin，
8、f (1)，2，故选D.2(文)若曲线yx在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a()A64 B32C16 D8答案A解析求导得yx(x0)，所以曲线yx在点(a，a)处的切线l的斜率ky|xaa，由点斜式，得切线l的方程为yaa(xa)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S3aaa18，解得a64.(理)如果f (x)是二次函数，且f (x)的图像开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线yf(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()A(0， B，)C(， D，)答案B解析由题意可设f (x)a(x1)2，(a0)，因此
9、函数图像上任一点处切线的斜率为kf (x)a(x1)2，即tan，所以，选B.二、填空题3(2014柳州模拟)已知函数f(x)2xsinx，则当x时，其导函数的值为_答案2解析f (x)2sinx2xcosx，f ()2sin2cos2.4(文)曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_答案4xy30解析本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法y3lnx4，故y|x14，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y14(x1)，化为一般式方程为4xy30.在过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式(理)点P是曲线yx2lnx上
10、任意一点，则P到直线yx2的距离的最小值是_答案解析作直线yx2的平行线使其与曲线yx2lnx相切，则切点到直线yx2的距离最小由y2x1，得x1，或x(舍去)切点为(1,1)，它到直线xy20的距离为d.三、解答题5(文)求下列函数的导数(1)ysinxcosx(2)yx2ex(3)y(1)(1)(4)ysin(12cos2)解析(1)y(sinx)cosxsinx(cosx)cosxcosxsinxsinxcos2x.(2)y(x2)exx2(ex)2xexx2ex(x22x)ex.(3)y11xxyxxx (1x1)(1)(4)ysin(cos)sinxy(sinx)cosx.(理)求下
11、列函数的导数：(1)yexlnx(2)yx(x2)(3)ysin2(2x)(4)yln(2x5)解析(1)y(exlnx)exlnxexex(lnx)(2)yx31，y3x2.(3)设yu2，usinv，v2x，则yxyuuvvx2ucosv24sin(2x)cos(2x)2sin(4x)(4)设ylnu，u2x5，则yxyuux，y(2x5).6(文)已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于P的直线方程解析(1)由f(x)x33x得f (x)3x23，过点P且以P
12、(1，2)为切点的直线的斜率f (1)0，所求的直线方程为y2.(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f (x0)3x3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为 ，又3x3，即x3x023(x1)(x01)，解得x01(舍去)或x0，故所求直线的斜率为k3(1)，y(2)(x1)，即9x4y10.(理)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解析(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f (x)a.于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.