1、高考资源网（） 您身边的高考专家G单元立体几何目录G单元立体几何1G1 空间几何体的结构1G2 空间几何体的三视图和直观图2G3 平面的基本性质、空间两条直线18G4 空间中的平行关系18G5 空间中的垂直关系30G6 三垂线定理60G7 棱柱与棱锥60G8 多面体与球62G9空间向量及运算67G10 空间向量解决线面位置关系68G11 空间角与距离的求法72G12 单元综合90G1空间几何体的结构【数学（文）卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】6.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱BC上的一点，则三棱锥的体积等于A. B. C. D. 【知识点】锥体的体积求法. G1
2、【答案】【解析】D解析：,故选D. 【思路点拨】由等体积转化法求解. 【数学卷2015届江苏省盐城中学高三1月月考（201501）】6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积.G1【答案】【解析】解析：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2圆柱的体积为V=Sl=r2l=122=2故答案为：2【思路点拨】根据题意，求出圆柱的母线长l，再求圆柱的体积VG2空间几何体的三视图和直观图【数学（理）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】6某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该
3、几何体的表面积为ABCD第6题图【知识点】三视图G2【答案】【解析】A解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为，侧面面积为，所以其表面积为，则选A.【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.【数学（理）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是俯视图正视图侧视图3642A24+和40B24+和72 C64+和40 D50+和72【知识点】三视图G2 【答案】【解析】C解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥
4、，所以其体积为，表面积为：所以选C.【思路点拨】由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积以及表面积.【数学（理）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】4右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图, 其俯视图是面积为8的矩形, 则该几何体的表面积是（）A2 0+8B2 4+8C8 D16【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为22=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）4=16+
5、8，表面积为：22+16+8=20+8【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可【数学（文）卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于A. B. C. D.【知识点】几何体的三视图的应用. G2【答案】【解析】C解析：由三视图可知此几何体的直观图如下：所以其最长的棱长DB=，故选C.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的直观图及相关数据，从而该多面体最长的棱长. 【数学（文）卷2015届湖北省襄阳市高三第
6、一次调研考试（201501）word版】7若某多面体的三视图如右图所示，则此外接球的表面积是A6BC2D3【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】D【解析】三视图复原几何体如图：是正方体去掉一个角后的几何体，它的外接球就是展开为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，体对角线的长度为：，所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积【数学（文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】15某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是
7、半圆，则该几何体的表面积为第15题图【知识点】三视图G2【答案】【解析】解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为，侧面面积为，所以其表面积为.【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.【数学（文）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A12B24 C40 D72俯视图正视图侧视图3642【知识点】三视图G2【答案】【解析】C解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，所以其体积为.所以选C.【思路点拨】由三视图可得该
8、几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积.【数学（文）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】4右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图, 其俯视图是面积为8的矩形, 则该几何体的表面积是（）A2 0+8B2 4+8C8 D16【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为22=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）4=16+8，表面积为：22+16+8=20+8【思路点拨】由三视图及题设条件知，
9、此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可12. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .【知识点】三视图的应用. G2【答案】【解析】3解析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于.【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积. 13. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (
10、自动保存的)】三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .【知识点】三视图的应用. G2【答案】【解析】3解析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于.【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积. 【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】7已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为ABCD1【知识点】三视图 G2【答案】C【解析】解析：边长为1的正三角形的高为，即侧视图的底面边长为
11、，而侧视图的高，即为正视图的高，所以侧面积为.故选择C.【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】7已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为ABCD1【知识点】三视图 G2【答案】C【解析】解析：边长为1的正三角形的高为，即侧视图的底面边长为，而侧视图的高，即为正视图的高，所以侧面积为.故选择C.【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代
12、入三角形的面积公式可得答案【数学理卷2015届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（201501）word版】6若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是A6 B C2 D3【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】D【解析】三视图复原几何体如图：是正方体去掉一个角后的几何体，它的外接球就是展开为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，体对角线的长度为：，所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积【数学理卷2015届河北省衡水市冀州
13、中学高三上学期第四次月考（201501）】4、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A、48cm3 B、78cm3 C、88cm3 D、98cm3【知识点】三视图G2【答案】【解析】D解析：由三视图可知几何体为一个长方体截取一个角后剩余的几何体，所以其体积为636-=98cm，所以选D.【思路点拨】由三视图求体积，通常先判断结合体特征再计算.【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】4、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A、48cm3 B、78cm3 C、88cm3 D、98cm3【知识
14、点】三视图G2【答案】【解析】D解析：由三视图可知几何体为一个长方体截取一个角后剩余的几何体，所以其体积为636-=98cm，所以选D.【思路点拨】由三视图求体积，通常先判断结合体特征再计算.【数学理卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为AB.C.D. （第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还原几何体S=+=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。【数学理卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】10已知某几何体的三视
15、图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A.B. C. D.60【知识点】三视图G2【答案】【解析】A解析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故，故该几何体的体积，故选A.【思路点拨】由已知中的三视图，可以判断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.【数学文卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】4已知某几何体的三视图
16、（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A108 cmB100 cm3C92 cm3D84 cm3【知识点】三视图 G2【答案】B【解析】解析：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4因此该几何体的体积.故选择B.【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4利用长方体与三棱锥的体积计算公式就看得出【数学文卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】14如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图 中的正方形边长为2，
17、正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是【知识点】三视图G2【答案】【解析】解析：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积和半球的表面积，故【思路点拨】由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征.【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AB. C. D. （第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还原几何体S=+=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校
18、高三第二次联考（201501）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AB. C. D. （第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还原几何体S=+=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AB. C. D. （第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还原几何体S=+=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个
19、面的面积再求和。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AB. C. D. （第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还原几何体S=+=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AB. C. D. （第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还
20、原几何体S=+=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AB. C. D. （第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还原几何体S=+=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。【数学文卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A.B. C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】A解析：由已知中
21、的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故，故该几何体的体积，故选A.【思路点拨】由已知中的三视图，可以判断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.G3平面的基本性质、空间两条直线G4空间中的平行关系【数学（理）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求
22、证:平面；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值第18题图【知识点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11【答案】【解析】（）略；（）略；（）解析：方法一：（）证明：连结交于，连结 是正方形，是的中点 是的中点，是的中位线2分 又平面，平面， 平面 4分 （）证明：由条件有平面，且平面又是的中点，平面平面 6分 由已知 平面又平面平面平面8分 （）取中点，则作于，连结 底面，底面为在平面内的射影, 为二面角的平面角10分设，在中， 二面角的余弦的大小为12分 方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，则， ， ,即有6分又且平面 又平面平面平面 8分 （） 底
23、面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为, , 则即, 令,则10分, 由作图可知二面角为锐二面角二面角的余弦值为12分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.【数学（文）卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】20.（12分）如图平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE中点.(1) 证明：AE平面BDF；（2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE? 若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【知识点】空间
24、点，线，面位置关系；线面平行及线面垂直的证明. G4 G5 【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）当P为AE中点时，有PMBE，证明：见解析. 解析：(1)连接AC交BD于O，连接OF.在ACE中，四边形ABCD 是矩形，O为AC中点，又F为EC中点，OFAE，又平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.（2）当P为AE中点时，有PMBE，以下给予证明.取BE中点H，连接DP，PH，CH，P为AE中点，H为BE中点，PHAB，又ABCD，PHCD，P、H、C、D四点共面.平面ABCD平面BCE，且平面ABCD平面BCE=BC，CDBC CD平面BCE，又BE平面BCE ，CDBE，BC=
25、CE，且H为BE中点，CHBECHCD=C，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BHPM，即PMBE. 【思路点拨】(1)取BD中点O,证明OFAE即可；（2）要使PMBE，只需BE平面DCP，取BE中点H，连接CH，因为BC=CE，所以BECH，有BE平面BCH，则平面BCH于线段AE的交点为点P，易得P为线段AE中点. 【数学（文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】20（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：直线平面；（）求直线与平面所成角的余弦值第20题图【知识点】平行关系垂直关系直线与平面所成
26、角G4 G5 G11【答案】【解析】（）略；（）略；（）解析：方法一：（）证明：连结交于，连结是正方形，是的中点是的中点，是的中位线2分又平面，平面，平面4分（）证明：由条件有平面，6分又是的中点，平面由已知，平面8分（）由()知面，则直线在面内的射影为，为所求的直线与面所成的角 10分又，在中又由可得12分直线与平面所成角的余弦值为13分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求直线与平面所成角时可找出其对应的平面角再进行解答.【数学（文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】3若，是两条不重合的空间直线，是平面，则下列命题中正确的是 A若，则B若，
27、则 C若，则D若，则【知识点】平行关系垂直关系G4 G5【答案】【解析】C解析：A选项，直线m还可能在平面内，所以错误；B选项，直线m还可能在平面内，所以错误；C选项由线面垂直的性质可知正确，所以应选C.【思路点拨】判断垂直关系与平行关系时，能直接利用定理判断的可用定理判断，不能直接利用定理判断的可用反例法排除.【数学（文）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】19 ( 1 2分) 如右图, 已知三棱柱A B CA1B1C1。() 若 M、 N 分别是A B, A1C的中点, 求证: MN平面BCC1B1。() 若三棱柱A B C-A1B1C1的各棱长均为2, B1B
28、 A=B1B C=6 0 , P 为线段B1B 上的动点, 当P A+P C 最小时, 求证: B1B平面APC。【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5【答案】（1）略()略【解析】（1）证明：连接,则AN=NC,因为AM=MB,所以MN平行,所以MN平面BCC1B1。()将平面A B A1展开到与平面BCC1共面，A到的位置，此时为菱形，可知PA+PC=P+PC,C即为PA+PC的最小值，此时,所以,所以【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直，再根据最小值证明结果。【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如
29、图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，ACBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.【思路点
30、拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】6、（ ） .【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A解析：对于选项A：设过直线m的平面交平面于n，因为,所以mn, 又，所以，所以，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足
31、，求直线与平面所成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，ACBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.【思路点拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量
32、的坐标求解. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】6、（ ） .【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A解析：对于选项A：设过直线m的平面交平面于n，因为,所以mn, 又，所以，所以，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确. 【数学文卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】13设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若ba，ca，则bc；若ba，bc，则ca；若c，lp，则c;若ca，c，则a其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）【知识点】直
33、线与平面的位置关系 G4 G5【答案】【解析】解析：选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直其中正确的命题是故答案为：.【思路点拨】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，选项用线线平行的条件进行判断；选项用线面平行的条件判断；选项用线面垂直的条件进行判断；选项用面面垂直的条件进行判断.【数学文卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】19
34、（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且 ,（1）求证：平面平面（2）在线段上是否存在一点，使得平面，并说明理由【知识点】面面垂直线面平行G5 G4【答案】【解析】(1)略（2）CF中点M解析: (1)平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEF=AB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBFAF面AFC，平面AFC平面CBF；（6分）（2）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN则MN，又AO，则MNAO，所以MNAO为平行四边形，（10分）OMAN，又AN平面DA
35、F，OM平面DAF，OM平面DAF（12分）【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需线面垂直（2）要证线面平行，可通过线线平行，也可通过面面平行去证.【数学卷2015届江苏省盐城中学高三1月月考（201501）】15.（本小题14分）已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点（）求证：；（）求证：平面【知识点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系G4 G5【答案】【解析】（）见解析（）见解析.解析：（）平面，平面，又是菱形， 又平面，平面，又平面，（）取线段的中点，连结，则，且，又，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面【思路点拨】（）由平面，可得，又由是菱形，可得，进而由线面垂
36、直的判定定理得到平面，进而；（）取线段PD的中点G，连结EG，FG，由中位线定理可得，且，又由，且，进而四边形BEGF是平行四边形，进而EG，再由线面平行的判定定理得到平面。G5空间中的垂直关系【数学（理）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值第18题图【知识点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11【答案】【解析】（）略；（）略；（）解析：方法一：（）证明：连结交于，连结 是正方形，是的中点 是的中点，是的中位线2分 又平面，
37、平面， 平面 4分 （）证明：由条件有平面，且平面又是的中点，平面平面 6分 由已知 平面又平面平面平面8分 （）取中点，则作于，连结 底面，底面为在平面内的射影, 为二面角的平面角10分设，在中， 二面角的余弦的大小为12分 方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，则， ， ,即有6分又且平面 又平面平面平面 8分 （） 底面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为, , 则即, 令,则10分, 由作图可知二面角为锐二面角二面角的余弦值为12分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系
38、用空间向量解答.【数学（理）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】19（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.ABCDEFA1B1C1D1（）求证：A1FC1E；（）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值. 【知识点】线线垂直二面角G5 G10【答案】（）略；（）.【解析】解析：设.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：，,，,.CABDEFA1B1C1D1xyz（）因为，所以.所以.（4分）（）因为，所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.因为，所以当时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥的
39、体积取得最大值，此时坐标分别为,.设平面的法向量为，则得取，得.显然底面的法向量为.设二面角的平面角为，由题意知为锐角.因为，所以，于是.所以，即二面角的正切值为.（12分）【思路点拨】以D为原点建立空间直角坐标系，设，求得两向量的数量积为零，所以证得垂直；因为三棱锥的高为是定值，所以其面积取决于，而，故当时，面积最大，求得坐标，利用二面角公式求得夹角的余弦值，再利用同角基本关系是求得正切值.【数学（文）卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】20.（12分）如图平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE中点.(2) 证明：AE平面BDF；（2）点
40、M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE? 若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【知识点】空间点，线，面位置关系；线面平行及线面垂直的证明. G4 G5 【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）当P为AE中点时，有PMBE，证明：见解析. 解析：(1)连接AC交BD于O，连接OF.在ACE中，四边形ABCD 是矩形，O为AC中点，又F为EC中点，OFAE，又平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.（2）当P为AE中点时，有PMBE，以下给予证明.取BE中点H，连接DP，PH，CH，P为AE中点，H为BE中点，PHAB，又ABCD，PHCD，P、H
41、、C、D四点共面.平面ABCD平面BCE，且平面ABCD平面BCE=BC，CDBC CD平面BCE，又BE平面BCE ，CDBE，BC=CE，且H为BE中点，CHBECHCD=C，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BHPM，即PMBE. 【思路点拨】(1)取BD中点O,证明OFAE即可；（2）要使PMBE，只需BE平面DCP，取BE中点H，连接CH，因为BC=CE，所以BECH，有BE平面BCH，则平面BCH于线段AE的交点为点P，易得P为线段AE中点. 【数学（文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】20（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，,
42、点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：直线平面；（）求直线与平面所成角的余弦值第20题图【知识点】平行关系垂直关系直线与平面所成角G4 G5 G11【答案】【解析】（）略；（）略；（）解析：方法一：（）证明：连结交于，连结是正方形，是的中点是的中点，是的中位线2分又平面，平面，平面4分（）证明：由条件有平面，6分又是的中点，平面由已知，平面8分（）由()知面，则直线在面内的射影为，为所求的直线与面所成的角 10分又，在中又由可得12分直线与平面所成角的余弦值为13分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求直线与平面所成角时可找出其对应的平面角再进行解答.【数学（
43、文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】3若，是两条不重合的空间直线，是平面，则下列命题中正确的是 A若，则B若，则 C若，则D若，则【知识点】平行关系垂直关系G4 G5【答案】【解析】C解析：A选项，直线m还可能在平面内，所以错误；B选项，直线m还可能在平面内，所以错误；C选项由线面垂直的性质可知正确，所以应选C.【思路点拨】判断垂直关系与平行关系时，能直接利用定理判断的可用定理判断，不能直接利用定理判断的可用反例法排除.【数学（文）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】20.（本小题满分13分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点E在棱上
44、运动.A1B1C1D1ABCDE（）证明：；（）若三棱锥的体积为时，求异面直线，所成的角.【知识点】线线垂直异面直线夹角G5 G11 【答案】（）略；（）.【解析】解析：（）连接BD.是正方形，.四棱柱是直棱柱，平面ABCD.平面ABCD，.平面.平面，.（6分）A1B1C1D1ABCDE（），平面，.，.，为异面直线，所成的角.在中，求得.平面，.在中，求得，.所以，异面直线，所成的角为.（13分）【思路点拨】只需证明平面，由平面，即可证得；三棱锥的体积为，可得，为异面直线，所成的角，在中，求得，即可得到异面直线，所成的角的大小. 【数学（文）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（
45、201501）】19 ( 1 2分) 如右图, 已知三棱柱A B CA1B1C1。() 若 M、 N 分别是A B, A1C的中点, 求证: MN平面BCC1B1。() 若三棱柱A B C-A1B1C1的各棱长均为2, B1B A=B1B C=6 0 , P 为线段B1B 上的动点, 当P A+P C 最小时, 求证: B1B平面APC。【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5【答案】（1）略()略【解析】（1）证明：连接,则AN=NC,因为AM=MB,所以MN平行,所以MN平面BCC1B1。()将平面A B A1展开到与平面BCC1共面，A到的位置，此时为菱形，可知PA+PC=P+PC,
46、C即为PA+PC的最小值，此时,所以,所以【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直，再根据最小值证明结果。【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，A
47、CBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.【思路点拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】6、（ ） .【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A解析：对于选项A：设过直线m的平面交平面于n，因为,所以mn, 又，所以，所以，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关
48、系的判定与性质得选项A 正确. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，ACBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点O
49、A,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.【思路点拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】6、（ ） .【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A解析：对于选项A：设过直线m的平面交平面于n，因为,所以mn, 又，所以，所以，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确. 【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三
50、第五次月考（201501）word版】19（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD,AB= PA=1,AD=，F是PB中点，E为BC上一点（1）求证：AF平面PBC；（2）当BE为何值时，二面角CPED为45o【知识点】线面垂直二面角G5 G11【答案】（1）略；（2）.【解析】解析：（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，F是PB中点，（2）设设平面的法向量则取，得平面PCE的法向量为二面角为45，解得当时，二面角为45，【思路点拨】（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利
51、用向量法能证明AF平面PBC（2）设求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出当时，二面角为45【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】19（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD,AB= PA=1,AD=，F是PB中点，E为BC上一点（1）求证：AF平面PBC；（2）当BE为何值时，二面角CPED为45o【知识点】线面垂直二面角G5 G11【答案】（1）略；（2）.【解析】解析：（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，F是PB中点，（2）设设平面的法向量则取，得平面P
52、CE的法向量为二面角为45，解得当时，二面角为45，【思路点拨】（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF平面PBC（2）设求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出当时，二面角为45【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】19、（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】面面垂直的判定 二面角的应用G5 G11【答案】【解析】（）略；（）解析：（） 因为PA平面ABCD，所以PABD，又ABCD为菱形，
53、所以ACBD,所以BD平面PAC，从而平面PBD平面PAC（）如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,，从而，因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为，设平面PMD的法向量为,由得取，即，设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即【思路点拨】证明面面垂直通常利用面面垂直的判定定理进行证明，已知二面角可通过两面的法向量的夹角建立等量关系进行解答.【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】19、（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】
54、面面垂直的判定 二面角的应用G5 G11【答案】【解析】（）略；（）解析：（） 因为PA平面ABCD，所以PABD，又ABCD为菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC，从而平面PBD平面PAC（）如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,，从而，因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为，设平面PMD的法向量为,由得取，即，设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即【思路点拨】证明面面垂直通常利用面面垂直的判定定理进行证明，已知二面角可通过两面的法向量的夹角建立等量关系进行解答.【数学理卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】19（本小题满分12
55、分）如图，在三棱柱中，已知，.（）求证：；（）设 ()，且平面与所成的锐二面角的大小为，试求的值.【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 G12 G5 【答案】【解析】（）略（）1解析：（）因为侧面,侧面，故,在中, 由余弦定理得：，所以，故,所以,而，平面（）由（）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则.所以,所以,则，. 设平面的法向量为，则,，令，则，是平面的一个法向量. 平面,是平面的一个法向量，.两边平方并化简得，所以或（舍去）【思路点拨】（）由已知条件推导出ABBC1，BCBC1，由此能证明C1B平面ABC（）以B为原点，BC，BA，B
56、C1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出的值【数学文卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】18（本小题满分12分）平面图形ABB1 AlC1C如图l所示，其中BBlC1C是矩形，BC=2，BB1 =4，AB=AC=，A1B1=A1C1=可，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BBlC1C，垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题（1）证明：AA1BC；（2）求AA1的长；（3）求二面角ABCA1的余弦值【知识点】线线垂直二面角 G5 G11【答案】（
57、）略；（2）5；（3）.【解析】解析：（）证明：取的中点为点连接平面平面，平面平面AO平面同理平面，共面，平面平面（）解：延长A1O1到D，使，则平面平面，平面平面，（）解：是二面角的平面角在直角中，在中，二面角A-BC-A1的余弦值为.【思路点拨】（）证明只需证明平面，取取的中点为点连接即可证得；（）延长A1O1到D，使，则可得可证，从而，即可求AA1的长；（）证明AOA1是二面角的平面角，在中，利用余弦定理，可求二面角的余弦值【数学文卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】13设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若ba，ca，则bc；若ba，bc
58、，则ca；若c，lp，则c;若ca，c，则a其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）【知识点】直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】【解析】解析：选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直其中正确的命题是故答案为：.【思路点拨】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，选项用线线平行的条件进行判断；选项用线面平行的条件判断；选项用线面垂直的条件进行判断；选项用
59、面面垂直的条件进行判断.【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2
60、，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平
61、面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答
62、案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四
63、棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP
64、-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平
65、面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线
66、，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】19（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且 ,（1）求证：平面平面（2）在线段上是否存在一点，使得平面，并说明理由【
67、知识点】面面垂直线面平行G5 G4【答案】【解析】(1)略（2）CF中点M解析: (1)平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEF=AB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBFAF面AFC，平面AFC平面CBF；（6分）（2）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN则MN，又AO，则MNAO，所以MNAO为平行四边形，（10分）OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，OM平面DAF（12分）【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需线面垂直（2）要证线面平行，可通过线线平行，也可通过面面平行去证.【数学卷2015届江
68、苏省盐城中学高三1月月考（201501）】15.（本小题14分）已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点（）求证：；（）求证：平面【知识点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系G4 G5【答案】【解析】（）见解析（）见解析.解析：（）平面，平面，又是菱形， 又平面，平面，又平面，（）取线段的中点，连结，则，且，又，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面【思路点拨】（）由平面，可得，又由是菱形，可得，进而由线面垂直的判定定理得到平面，进而；（）取线段PD的中点G，连结EG，FG，由中位线定理可得，且，又由，且，进而四边形BEGF是平行四边形，进而EG，再由线面平行的判定定理得
69、到平面。G6 三垂线定理G7 棱柱与棱锥【数学（理）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】5.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为和，那么A B= C D不确定【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积G7 【答案】【解析】B解析：根据题意：半球的截面圆：取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，根据得出：.所以选B.【思路
70、点拨】根据图形得出，即可判断【数学（文）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】6.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为和，那么A B= C D不确定【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积G7 【答案】【解析】B解析：根据题意：半球的截面圆：取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，根据得出：.所以选B.【思路点拨】根据图
71、形得出，即可判断【数学理卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】16表面积为的球面上有四点S、A、B、C，且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为.【知识点】棱锥的体积G7【答案】【解析】27解析：由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为，所以球半径为，由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO平面ABC，SD平面ABC，即有OOSD，当D为AB的中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大由于则，则ABC是边长为6的正三角形，则的面积为：.在直角梯形SDOO中，作于点E，,即有三棱锥S-ABC体积,故答
72、案为27.【思路点拨】由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，D为AB中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱锥的体积公式即可得到最大值【数学文卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】16表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为.【知识点】棱锥的体积G7【答案】【解析】27解析：由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为，所以球半径为，由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO平面ABC，SD平面A
73、BC，即有OOSD，当D为AB的中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大由于则，则ABC是边长为6的正三角形，则的面积为：.在直角梯形SDOO中，作于点E，,即有三棱锥S-ABC体积,故答案为27.【思路点拨】由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，D为AB中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱锥的体积公式即可得到最大值G8 多面体与球【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】16、已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个
74、平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的表面积为。【知识点】三棱锥 球G8【答案】【解析】3解析：由展开图可知平面图形的外接圆半径为OP,设三棱锥的棱长为a，则有，得，则三棱锥的高为，设三棱锥的内切球半径为r，则，得，所以三棱锥内切球表面积为.【思路点拨】先结合三棱锥的特征求其棱长，再利用等体积法求内切球半径，最后利用公式求球的表面积.【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】16、已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的表面积为。【知识点】三棱锥 球G8【答案】【解析】3解
75、析：由展开图可知平面图形的外接圆半径为OP,设三棱锥的棱长为a，则有，得，则三棱锥的高为，设三棱锥的内切球半径为r，则，得，所以三棱锥内切球表面积为.【思路点拨】先结合三棱锥的特征求其棱长，再利用等体积法求内切球半径，最后利用公式求球的表面积.【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】15. 已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【知识点】多面体与球G8【答案】6【解析】如图：AD=2，AB=1，满足AD2+AB2=SD2ADAB，又ADBC，BCAB=B，AD平面ABC，AB=BC=1，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD=2，CD=
76、，三棱锥的外接球的表面积为4（）2=6【思路点拨】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】15. 已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【知识点】多面体与球G8【答案】6【解析】如图：AD=2，AB=1，满足AD2+AB2=SD2ADAB，又ADBC，BCAB=B，AD平面ABC，AB=BC=1，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD=2，CD=，三棱锥的外接球的表面积为4（）2=6【思路点拨】根据勾股定理
77、可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】15. 已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【知识点】多面体与球G8【答案】6【解析】如图：AD=2，AB=1，满足AD2+AB2=SD2ADAB，又ADBC，BCAB=B，AD平面ABC，AB=BC=1，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD=2，CD=，三棱锥的外接球的表面积为4（）2=6【思路点拨】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形
78、，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】15. 已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【知识点】多面体与球G8【答案】6【解析】如图：AD=2，AB=1，满足AD2+AB2=SD2ADAB，又ADBC，BCAB=B，AD平面ABC，AB=BC=1，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD=2，CD=，三棱锥的外接球的表面积为4（）2=6【思路点拨】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【数
79、学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】15. 已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【知识点】多面体与球G8【答案】6【解析】如图：AD=2，AB=1，满足AD2+AB2=SD2ADAB，又ADBC，BCAB=B，AD平面ABC，AB=BC=1，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD=2，CD=，三棱锥的外接球的表面积为4（）2=6【思路点拨】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（20150
80、1）】15. 已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【知识点】多面体与球G8【答案】6【解析】如图：AD=2，AB=1，满足AD2+AB2=SD2ADAB，又ADBC，BCAB=B，AD平面ABC，AB=BC=1，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD=2，CD=，三棱锥的外接球的表面积为4（）2=6【思路点拨】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积G9空间向量及运算G10空间向量解决线面位置关系【数学（理）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】19（本
81、小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.ABCDEFA1B1C1D1（）求证：A1FC1E；（）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值. 【知识点】线线垂直二面角G5 G10【答案】（）略；（）.【解析】解析：设.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：，,，,.CABDEFA1B1C1D1xyz（）因为，所以.所以.（4分）（）因为，所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.因为，所以当时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时坐标分别为,.设平面的法向量为，则得取，得.显然底面的法向量为.设二面角的平
82、面角为，由题意知为锐角.因为，所以，于是.所以，即二面角的正切值为.（12分）【思路点拨】以D为原点建立空间直角坐标系，设，求得两向量的数量积为零，所以证得垂直；因为三棱锥的高为是定值，所以其面积取决于，而，故当时，面积最大，求得坐标，利用二面角公式求得夹角的余弦值，再利用同角基本关系是求得正切值.【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G1
83、0 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，ACBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.【思路点拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)
84、】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，ACBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE
85、所成的角为，则sin=.【思路点拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. G11 空间角与距离的求法【数学（理）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值第18题图【知识点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11【答案】【解析】（）略；（）略；（）解析：方法一：（）证明：连结交于，连结 是正方形，是的中点 是的中点，是的中位线2分 又平面，平面， 平面 4分 （）证明：由条件有平面，且平面又
86、是的中点，平面平面 6分 由已知 平面又平面平面平面8分 （）取中点，则作于，连结 底面，底面为在平面内的射影, 为二面角的平面角10分设，在中， 二面角的余弦的大小为12分 方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，则， ， ,即有6分又且平面 又平面平面平面 8分 （） 底面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为, , 则即, 令,则10分, 由作图可知二面角为锐二面角二面角的余弦值为12分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.【数学（文）卷2015届湖北省荆门市
87、高三元月调研考试（201501）】20（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：直线平面；（）求直线与平面所成角的余弦值第20题图【知识点】平行关系垂直关系直线与平面所成角G4 G5 G11【答案】【解析】（）略；（）略；（）解析：方法一：（）证明：连结交于，连结是正方形，是的中点是的中点，是的中位线2分又平面，平面，平面4分（）证明：由条件有平面，6分又是的中点，平面由已知，平面8分（）由()知面，则直线在面内的射影为，为所求的直线与面所成的角 10分又，在中又由可得12分直线与平面所成角的余弦值为13分【思路点拨】证明线面平
88、行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求直线与平面所成角时可找出其对应的平面角再进行解答.【数学（文）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】20.（本小题满分13分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点E在棱上运动.A1B1C1D1ABCDE（）证明：；（）若三棱锥的体积为时，求异面直线，所成的角.【知识点】线线垂直异面直线夹角G5 G11 【答案】（）略；（）.【解析】解析：（）连接BD.是正方形，.四棱柱是直棱柱，平面ABCD.平面ABCD，.平面.平面，.（6分）A1B1C1D1ABCDE（），平面，.，.，为异面直线，所成的角.在中，求得.平面，.在中，
89、求得，.所以，异面直线，所成的角为.（13分）【思路点拨】只需证明平面，由平面，即可证得；三棱锥的体积为，可得，为异面直线，所成的角，在中，求得，即可得到异面直线，所成的角的大小. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边
90、形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，ACBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.【思路点拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. 【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；（2）若，上一点满足，求直线与平面所
91、成角的正弦值 .【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.解析：(1)DE平面ABCD,AC平面ABCD, DEAC.四边形ABCD 是菱形，ACBD，又DEBD=D，AC平面BDE,BE平面BDE，ACBE（2）DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.【思路点拨】（1）证AC平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. 【
92、数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】19、（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】面面垂直的判定 二面角的应用G5 G11【答案】【解析】（）略；（）解析：（） 因为PA平面ABCD，所以PABD，又ABCD为菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC，从而平面PBD平面PAC（）如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,，从而，因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为，设平面PMD的法向量为,由得取，即，设与的夹角为，则二面角大小与相等
93、从而，得从而，即【思路点拨】证明面面垂直通常利用面面垂直的判定定理进行证明，已知二面角可通过两面的法向量的夹角建立等量关系进行解答.【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】19、（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】面面垂直的判定 二面角的应用G5 G11【答案】【解析】（）略；（）解析：（） 因为PA平面ABCD，所以PABD，又ABCD为菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC，从而平面PBD平面PAC（）如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标
94、系，则,，从而，因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为，设平面PMD的法向量为,由得取，即，设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即【思路点拨】证明面面垂直通常利用面面垂直的判定定理进行证明，已知二面角可通过两面的法向量的夹角建立等量关系进行解答.【数学文卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】18（本小题满分12分）平面图形ABB1 AlC1C如图l所示，其中BBlC1C是矩形，BC=2，BB1 =4，AB=AC=，A1B1=A1C1=可，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BBlC1C，垂直，再分别连接
95、A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题（1）证明：AA1BC；（2）求AA1的长；（3）求二面角ABCA1的余弦值【知识点】线线垂直二面角 G5 G11【答案】（）略；（2）5；（3）.【解析】解析：（）证明：取的中点为点连接平面平面，平面平面AO平面同理平面，共面，平面平面（）解：延长A1O1到D，使，则平面平面，平面平面，（）解：是二面角的平面角在直角中，在中，二面角A-BC-A1的余弦值为.【思路点拨】（）证明只需证明平面，取取的中点为点连接即可证得；（）延长A1O1到D，使，则可得可证，从而，即可求AA1的长；（）证明AOA1是二面角的平面角，在中，
96、利用余弦定理，可求二面角的余弦值【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为
97、AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又
98、，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G
99、11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)
100、如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC
101、, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,
102、且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【数学文卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5 G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO底面ABCD为矩形O为BD的中点又E为PD的中点,OE为PBD
103、的中位线，则OEPB 又，PB平面AEC （2）PB平面AECP到平面AEC与B到平面AEC的距离相等VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又SABC=,且E到平面ABC的距离为AC=2，EC=，AE=1，SAEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=P到平面AEC的距离为【思路点拨】OEPB,PB平面AEC, VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。G12 单元综合【数学（理）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】19（1 2分）三棱锥P-A B C 中, 底面A B C 为边长为2的正三角形, 平面P B C平面A B C, P B=P C=2, D
104、 为A P 上一点, AD=2 D P, O 为底面三角形中心。（）求证: B DA C;（）设 M 为P C 中点, 求二面角 M-B D-O 的余弦值。【知识点】单元综合G12【答案】（1）略（）【解析】（1）PB=PC，且E为BC中点，PEBC，又平面PBC平面ABC，PE平面ABC，由（）知，DOPE，DO平面PBC，DOAC连接BO，则ACBO，又DOBO=O，AC平面DOB，ACBD（2）由（）（）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(3，0，0)，B(0，0)，P(0，0，1)，D(1，
105、0，)，C(0，-，0)，M(0，-，)=(0，-，)，=(-1，-)设平面BDM的法向量为=(x，y，z)，则，令y=1，则=(-，1，3)由（）知AC平面DBO，=(-3，-，0)为平面DBO的法向量，cos，=，由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为【思路点拨】（1）通过证明AC平面DOB，利用直线与平面垂直的性质定理证明BDAC；（2）设M为PC中点，以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、D、M的坐标，求出向量，设出平面BDM的法向量为，利用，求出，利用cos，=求二面角M-BD-O的余弦值【数学（理）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四
106、次联考（201501）】13已知底面边长为, 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个点都在同一球面上, 则此球的表面积为。【知识点】单元综合G12【答案】3【解析】由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1正方体的体对角线是故外接球的直径是，半径是故其表面积是4()2=3【思路点拨】底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求【数学（文）卷2015届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（201501）word版】20(本大题满分13
107、分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AA1 = 2(1)证明：AA1BD；(2)证明: 平面A1BD平面CD1B1；(3)求三棱柱ABDA1B1D1的体积ABCDA1B1D1C1O【知识点】单元综合G12【答案】(1)略(2)略(3)【解析】(1)证：A1O平面ABCD，BD在平面ABCD内，A1OBD又ABCD是正方形，BDACA1O、AC在平面A1AC内，BD平面A1AC而AA1在平面A1AC内，AA1BD(2)证：在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1BB1且DD1 = BB1四边形BB1D1D是平行四边形，故BDB1D1
108、又在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC且A1D1 = BC四边形A1BCD1是平行四边形，故A1BD1C而A1B、BD是平面A1BD内的相交直线，D1C、B1D1是平面CD1B1内的相交直线平面A1BD平面CD1B1(3)解：在正方形ABCD中，又A1O平面ABCD，AC在平面ABCD内，A1OAC， BDB1D1故【思路点拨】根据BD平面A1AC证明AA1BD，A1BD1C，BDB1D1平面A1BD平面CD1B1，。【数学（文）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】14.已知底面边长为, 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球
109、面上, 则此球的表面积为。【知识点】单元综合G12【答案】3【解析】由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1正方体的体对角线是故外接球的直径是，半径是故其表面积是4()2=3【思路点拨】底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求【数学理卷2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】18（本小题满分12分）如图1，直角梯形中，,是底边上的一点，且. 现将沿折起到的位置，得到如图2所示的四棱锥且.（1）求证：平面;（2）若
110、是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.ABCDE图1BEADMC1图2【知识点】单元综合G12【答案】（1）略（2）【解析】（1）设，则又 ，又 平面（2）由（1）知：平面且,分别以为轴、 轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图zxBEADMC1y则是的中点 设平面的法向量为由 即 令 得设直线与平面所成角为，则 直线与平面所成角的正弦值为. 【思路点拨】由，平面，。【数学理卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】19（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知，.（）求证：；（）设 ()，且平面与所成的锐二面角的大小为，试求的值.【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；
111、直线与平面垂直的判定 G12 G5 【答案】【解析】（）略（）1解析：（）因为侧面,侧面，故,在中, 由余弦定理得：，所以，故,所以,而，平面（）由（）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则.所以,所以,则，. 设平面的法向量为，则,，令，则，是平面的一个法向量. 平面,是平面的一个法向量，.两边平方并化简得，所以或（舍去）【思路点拨】（）由已知条件推导出ABBC1，BCBC1，由此能证明C1B平面ABC（）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出的值【数学卷2015届江苏省盐城中学高三1月月考（201501）】10在中，设点，满足.若，则的值是 【知识点】向量在几何中的应用.G12【答案】【解析】解析：由题意可得，因为，由于，解得，故答案为：【思路点拨】由题意推出，根据，通过向量的转化求得的值- 97 - 版权所有高考资源网