1、43.2对数的运算1掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件2掌握换底公式及其推论3能熟练运用对数的运算性质进行化简求值1对数运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立例如，log2(3)(5)log2(3)log2(5)是错误的2对数换底公式若c0，且c1，则logab(a0，且a1，b0)3由换底公式推导的重要结论(1)loganbnlogab.(2)loganbmlogab
2、.(3)logablogba1.(4)logablogbclogcdlogad.1我们知道amnaman，那么loga(MN)logaMlogaN正确吗？举例说明答案不正确，例如log24log2(22)log22log22111，而log2422你能推出loga(MN)(M0，N0)的表达式吗？答案能令amM，anN，MNamn，由对数定义知，logaMm，logaNn，loga(MN)mn，loga(MN)logaMlogaN3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差()(2)loga(xy)logaxlogay.()(3)log2(5)22log2(5
3、)()(4)由换底公式可得logab.()答案(1)(2)(3)(4)题型一 对数运算性质的应用【典例1】求下列各式的值：(1)log345log35；(2)log24log28；(3)lg142lglg7lg18；(4)lg52lg8lg5lg20(lg2)2.思路导引解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应解(1)log345log35log3log39log3322.(2)log24log28log222log223236.(3)原式lg2lg72(lg7lg3)lg7(lg2lg9)lg2lg72lg72lg3lg7lg22lg30.(4)原式2lg5lg23lg5lg(
4、225)(lg2)22lg52lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)22(lg5lg2)2lg5lg2(lg5)2(lg2)22lg10(lg5)22lg5lg2(lg2)22(lg5lg2)22(lg10)2213.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行(2)两种常用的方法“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)针对训练1计算：(1)log5352log5log57log51.8；(2)log2log2
5、12log2421；(3)lglglg.解(1)原式log5(57)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552.(2)原式log2log212log2log22log2log2 (3)解法一：原式(5lg22lg7)lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.解法二：原式lglg4lg7lglg()lg.题型二 对数换底公式的应用【典例2】(1)计算：log29log34；.(2)证明：logablogba1(a0，且a1；b0，且b1)；loganbnlogab(
6、a0，且a1，n0)思路导引利用换底公式计算、证明解(1)原式4.原式loglog9.(2)证明：logablogba1.loganbnlogab.变式(1)若本例(2)改为“logablogbclogcdlogad”如何证明？(2)若本例(2)改为“loganbmlogab”如何证明？证明(1)logablogbclogcdlogad.(2)loganbmlogab.应用换底公式应注意的2个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式针对训练2. 等于()A. B. C6D6解析 答案D3log2log
7、3log5_.解析原式12.答案12题型三 对数的综合应用【典例3】(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg20.3010，lg30.4771)(2)已知log189a,18b5，用a、b表示log3645.思路导引应用换底公式化简求值解(1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y0.75；经过2年，剩余量是y0.752；经过x年，剩余量是y0.75x；由题意得0.75x，xlog0.754.估计经过4年，该物质的剩余量是原来的.(2)解法一：由18b5，得l
8、og185b，又log189a，所以log3645.解法二：设log3645x，则36x45，即62x59，从而有182x59x1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2xlog185(x1)log189，又18b5，所以blog185.所以2xb(x1)a，解得x，即log3645.解对数综合应用问题的3条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用针对训练4若lg2a，lg3b，则log512等于_解析log512.答案5在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(
9、单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev2000(e为自然对数的底)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)(ln31.099)解由ev2000及M2m，得ev32000，两边取以e为底的对数，vln320002000ln320001.0992198(m/s)火箭的最大速度为2198 m/s.1下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()Alogaxlogayloga(xy)B(logax)nnlogaxC.logaD.logaxlogay解析根据对数的运算性质知，C正确答案C2化简log6122log6的结果为()A6B12 Clog6
10、 D.解析log6122log6log62log62log6log6.故选C.答案C3已知ln2a，ln3b，那么log32用含a，b的代数式可表示为()Aab B. CabDab解析log32.答案B4计算log916log881的值为_解析log916log881.答案5已知2x3y6z1，求证：.证明设2x3y6zk(k1)，xlog2k，ylog3k，zlog6k，logk2，logk3，logk6logk2logk3，.课后作业(三十)复习巩固一、选择题1.()A.B2 C. D.解析原式2.答案B22log510log50.25()A0B1 C2D4解析原式log5102log50
11、.25log5(1020.25)log5252.答案C3若a0，且a1，则下列说法正确的是()A若MN，则logaMlogaNB若logaMlogaN，则MNC若logaM2logaN2，则MND若MN，则logaM2logaN2解析在A中，当MN0时，logaM与logaN均无意义，因此logaMlogaN不成立，故A错误；在B中，当logaMlogaN时，必有M0，N0，且MN，因此MN成立，故B正确；在C中，当logaM2logaN2时，有M0，N0，且M2N2，即|M|N|，但未必有MN，例如M2，N2时，也有logaM2logaN2，但MN，故C错误；在D中，若MN0，则logaM2
12、与logaN2均无意义，因此logaM2logaN2不成立，故D错误答案B4设alog32，则log382log36用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2C5a2Da23a1解析alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.答案A5计算log225log32log59的结果为()A3B4 C5D6解析原式6.答案D二、填空题6lglg的值是_解析lglglglg101.答案17若logablog3a4，则b的值为_解析logablog3a4，所以lgb4lg3lg34，所以b3481.答案818四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成
13、了巨大的损失里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关震级MlgE3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于_颗广岛原子弹解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，则86(lgE2lgE1)，即lg3.1031000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹答案1000三、解答题9求下列各式的值：(1)2log5253log264；(2)lg()；(3)(lg5)22lg2(lg
14、2)2.解(1)2log5252log5524log554，3log2643log22618log2218，2log5253log26441822.(2)原式lg()2lg(332)lg10.(3)(lg5)22lg2(lg2)2(lg5)2(lg2)22lg2(lg5lg2)(lg5lg2)2lg2lg10(lg5lg2)2lg2lg5lg2lg101.10(1)若lgxlgy2lg(x2y)，求的值；(2)设3x4y36，求的值(x0，y0)解(1)因为lgxlgy2lg(x2y)，所以由xy(x2y)2，知x25xy4y20，所以xy或x4y.又x0，y0且x2y0，所以舍去xy，故x4
15、y，则4.(2)解法一：3x36,4y36，xlog336，ylog436.log363，log364.2log363log364log36(94)1.解法二：对等式3x4y36各边都取以6为底的对数，得log63xlog64ylog636，即xlog63ylog642.log63，log62.log63log62log661，即1.综合运用11若ab0，给出下列四个等式：lg(ab)lgalgb; lglgalgb；lg2lg； lg(ab).其中一定成立的等式的序号是()ABCD解析ab0，a0，b0或a0，b0，0，lg22lglg，中等式成立；当ab1时，lg(ab)0，但logab1
16、0无意义，中等式不成立故选D.答案D12若2.5x1000,0.25y1000，则()A.B3 CD3解析xlog2.51000，ylog0.251000，log10002.5，同理log10000.25，log10002.5log10000.25log100010.答案A13已知lg2a，lg3b，则log36_.解析log36.答案14计算log225log3log5ln_.解析原式8.答案815设a，b是方程2(lgx)2lgx410的两个实根，求lg(ab)(logablogba)的值解原方程可化为2(lgx)24lgx10.设tlgx，则方程化为2t24t10，t1t22，t1t2.又a，b是方程2(lgx)2lgx410的两个实根，t1lga，t2lgb，即lgalgb2，lgalgb.lg(ab)(logablogba)(lgalgb)(lgalgb)(lgalgb)212，即lg(ab)(logablogba)12.