1、第28节 等差数列及其前n项和考纲呈现 1理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 3熟练掌握等差数列的基本运算和相关性质，在解题时可达到避繁就简的目的.诊断型微题组 课前预习诊断双基1等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母 d 表示数学语言表示为(nN*)，d 为常数(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是，其中 A 叫做
2、a，b 的 第 2 项差同一个常数公差an1and等差中项Aab22等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an，可推广为 an.(2)等差数列的前 n 项和公式 Snna1an2na1nn12d.a1(n1)dam(nm)d3等差数列的相关性质 已知an为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即 a1an.(2)等差数列an中，当 mnpq 时，(m，n，p，qN*)特别地，若 mn2p，则(m，n，pN*)a2an1a3an2akank1amanapaq2apama
3、n(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.(5)Snn 也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的12.4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系 ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数；当d0时，数列为递增数列；当d0，d0，则Sn存在最值；若a10，则Sn存在最值 大小 1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等
4、差数列 2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 3求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件 1(2018广东佛山二模)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13()A120B105C90D75【答案】B【解析】an是公差为正数的等差数列，a1a2a315，a1a2a380，a25，a1a3(5d)(5d)16，d3，a12a210d35.a11a12a133a12105，故选B.2(2018河北衡水校级模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a111，a5a64，Sn取得最小值时n的值为()A6B7C8D9
5、【答案】A【解析】等差数列an中，设公差为d，a111，a5a64，(a14d)(a15d)229d4，d2，ana1(n1)d112(n1)2n13.由2n130，得n132.当n6时，Sn取得最小值 3(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第100项为_【答案】487【解析】依题意得，该数列的首项为8，公差为5，所以a1008995487.4(必修5P39练习T2改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为_【答案】820【解析】设第n排的座位数为an(nN*)，数列an为等差数列，其公差d2，则ana1(n1
6、)da12(n1)由已知a2060，得60a12(201)，解得a122，则剧场总共的座位数为20a1a2022022602820.5(必修5P46A组T5改编)已知等差数列5,4 27，3 47，则前n项和Sn_.【答案】114(75n5n2)【解析】由题知公差d57，所以Snna1nn12d 114(75n5n2).形成型微题组 归纳演绎形成方法 等差数列基本量的运算 1(2018湖北武汉调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d ()A1B2 C3D4【答案】C【解析】由题意可得a1a16d8，a1d2，解得a15，d3.故选C.2(2018河北唐山模拟)设等差
7、数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.【答案】30 【解析】设数列an的首项为a1，公差为d.由S36，S412可得S33a13d6，S44a16d12，解得a10，d2，S66a115d30.微技探究 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项an和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 1.(2018陕西八校联考)在等差数列an中，a10，公差d0.若ama1a2a9，则m的值为()A37B36C20D
8、19【答案】A【解析】ama1a2a99a1982d36da37，m37.故选A.2.(2018贵州遵义模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a58，S36，则S10S7的值是()A24B48C60D72【答案】B【解析】设等差数列an的公差为d，由题意可得a5a14d8，S33a13d6，解得a10，d2，则S10S7a8a9a103a124d48.等差数列的判定与证明(2018湖北襄阳模拟)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)【证明】当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1
9、，所以 1Sn 1Sn12.又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为2，公差为2的等差数列(2)【解】由(1)可得 1Sn2n，所以Sn 12n.当n2时，anSnSn1 12n12n1n1n2nn112nn1.当n1时，a112不适合上式 故an12，n1，12nn1，n2.微技探究 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列 (2018吉林白山二模
10、)在数列an中，设f(n)an，且f(n)满足f(n1)2f(n)2n(nN*)，a11.(1)设bn an2n1，证明：数列bn为等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.(1)【证明】由已知得an12an2n，得bn1an12n 2an2n2n an2n11bn1，bn1bn1，又a11，b11，bn是首项为1，公差为1的等差数列(2)【解】由(1)知，bn an2n1n，ann2n1，Sn1221322n2n1，两边同乘2，得2Sn121222(n1)2n1n2n，两式相减得Sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.等差数列性质的应用 1设等差数列an的前
11、n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63B45C36D27【答案】B【解析】由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.2已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，S2 0142 014 S2 0082 0086，则S2 017_.【答案】4 034【解析】设SnAn2Bn，则Snn AnB，Snn 成等差数列，a12 014，S2 0142 014S2 0082 0086，Snn 是以2 014为首项，1为公差的等差数列，S2 0172 0172 0142 01612，S2 0
12、1722 0174 034.微技探究 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.1.(2018甘肃张掖一模)在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和中最大的为()AS15BS16 CS15和S16DS17【答案】A【解析】S10S20，10a11092d20a120192d，又a129，d2，Sn29n nn12(2)n230n(n15)2225.当n15时，Sn取得最大值 2.(2018广东清远
13、二模)设Sn是等差数列an的前n项和若 a6a5 911，则S11S9()A1B1C2D12【答案】A【解析】S11S911a1a1129a1a9211a69a5 119 9111.等差数列前n项和的最值问题 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a25，S520.(1)求数列an的通项公式；(2)求使不等式Snan成立的n的最小值【解】(1)设an的公差为d，依题意，有a2a1d5，S55a110d20，联立得a1d5，5a110d20，解得a16，d1，所以an6(n1)1n7.(2)因为ann7，所以Snna1an2nn132，令nn132n7，即n215n140，解得n14.又nN*，所
14、以n14，所以n的最小值为15.微技探究 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最大值Sm；当a10，d0时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最小值Sm；已知等差数列an满足a27，a85.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn取得最大值时n的值【解】(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d7，a8a17d5，联立解得a19，d2.数列an的通项公式an92(n1)2n11.(2)由(1
15、)知a19，d2，数列an的前n项和Sn9nnn12(2)n210n(n5)225，由二次函数可知当n5时，Sn有最大值25.思想方法 整体思想在等差数列中的应用【典例】设等差数列an的前n项和Snm，前m项和Smn(mn)，则它的前mn项的和Smn_.【答案】(mn)【解析】方法一 设an的公差为d，则由Snm，Smn，得Snna1nn12dm，Smma1mm12dn.，得(mn)a1mnmn12dnm，mn，a1mn12d1.Smn(mn)a1mnmn12d(mn)a1mn12d(mn)方法二 设SnAn2Bn(nN*)，则Am2Bmn，An2Bnm，得A(m2n2)B(mn)nm.mn，
16、A(mn)B1.A(mn)2B(mn)(mn)，即Smn(mn)微技探究 1本题的两种解法都突出了整体思想，其中方法一把a1mn12d看成了一个整体，方法二把A(mn)B看成了一个整体，解起来都很方便 2整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征 3本题的易错点是不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误 若两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn7nn3，则a5b5等于()A7B23 C.278 D214 【答案】D【解析】a5a1a92，b5b1b92，a5b5a1a92b1b929a1a929b1b92S9T9
17、7993214.故选D.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018全国，4)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10D12【答案】B【解析】设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得33a13312d 2a1 2212d4a1 4412d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.2(2017全国，4)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8【答案】C【解析】等差数列an中，S6 a1a66248，则a1a616a2a5.又a4a524，所以a4a22d24168，
18、得d4.故选C.3(2017全国，9)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24B3C3D8【答案】A【解析】设等差数列an的公差为d，依题意得a23a2a6，即(12d)2(1d)(15d)，解得d2或d0(舍去)又a1，S661652(2)24.故选A.4(2016全国，3)已知等差数列an的前9项和为27，a108，则a100()A100B99C98D97【答案】C【解析】设an的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得S99a1982 d27，a10a19d8，解得a11，d1，故ana1(n1)dn2，所以a100100298.故选C.5(2018北京，9)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为_【答案】an6n3【解析】设公差为d.a2a536，(a1d)(a14d)36，2a15d36.a13，d6，通项公式ana1(n1)d6n3.6(2016江苏，8)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a223，S510，则a9的值是_【答案】20【解析】设等差数列an的公差为d，则由题设可得a1a1d23，5a1542 d10，解得d3，a14，从而a9a18d20.
