1、第33节 二元一次不等式(组)和简单线性规划考纲呈现 1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.诊断型微题组 课前预习诊断双基1二元一次不等式(组)表示的平面区域 2线性规划相关概念 3.重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直
2、线AxByC0的上方；当B(AxByC)0(a0)的形式 2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有 3在通过求直线的截距 zb 的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距 zb取最大值时，z也取最大值；截距 zb取最小值时，z也取最小值当b0时，截距 zb 取最大值时，z取最小值；截距 zb 取最小值时，z取最大值 1(2018 安徽马鞍山测试)不等式 3x2y60 表示的区域是()【答案】D【解析】可判原点适合不等式3x2y60，故不等式3x2y60所表示的平面区域为直线3x2y60的左下方，故选D.2(201
3、8江西模拟)不等式组x2y0，x3y0，x2y24表示的平面区域D的面积为()A.2B32CD3【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：OA 的斜率 k13，OB 的斜率 k12，则tanAOB1312113121，则D是圆心角为4，半径为2的扇形，故面积为1842，故选A.3(必修5P93B组T1改编)二元一次不等式组2x3y12，2x3y6，0 x6所表示的平面区域的面积为()A18B24C36D12 13【答案】C【解析】不等式组所表示的平面区域如图，四边形ABCD是平行四边形，由图中数据可知其面积S(42)636.故选C.4(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束
4、条件yx，xy1，y1，则z2xy1的最大值、最小值分别是()A3，3B2，4 C4，2D4，4【答案】C【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示，其中A(1，1)，B(2，1)，C 12，12，画直线l0：y2x，平移l0过点B时，zmax4，平移l0过点A时，zmin2.故选C.形成型微题组 归纳演绎形成方法 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1(2018山东泰安模拟)不等式组yx2，yx1，y0所表示的平面区域的面积为()A1B12 C13 D14【答案】D【解析】如图所示，不等式组对应的平面区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由yx2，yx1，得yD 12，所以SBCD 12(xC
5、xB)1214.2(2018甘肃张掖模拟)若不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域被直线ykx43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73 B37C43D34【答案】A 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 由于直线ykx43过定点0，43，因此只有直线过AB中点时，直线ykx43才能平分平面区域A(1,1)，B(0,4)，线段AB的中点D12，52.ykx43过点12，52，52k243，k73.微技探究 1求平面区域的面积 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角
6、形，分别求解再求和即可 2利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解 1.(2018湖南长沙模拟)若满足条件xy0，xy20，ya的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3B2C1D0【答案】C 【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5个整点故选C.2.(2018汕头模拟)已知约束条件x1，xy40，kxy0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(
7、)A1B1C0D2【答案】A【解析】作出不等式组x1，xy4)表示的平面区域，如图 可知要使原不等式组表示的区域为直角三角形区域，则k0或k1，故B，D不正确；当k0时，原不等式组表示的区域的面积为 1233921，故C不正确故选A.目标函数的最值问题命题角度1 求线性目标函数的最值(2018天津高考)设变量x，y满足约束条件xy20，2x3y60，3x2y90，则目标函数z2x5y的最小值为()A4B6C10D17【答案】B 【解析】作出不等式组xy20，2x3y60，3x2y90，表示的可行域，如图中三角形的区域，作出直线l0：2x5y0(图中的虚线)，平移直线l0，可得经过点(3,0)时
8、，z2x5y取得最小值6.故选B.命题角度2 求非线性目标函数的最值 (2018河南开封模拟)设变量x，y满足约束条件xy1，xy2，y2，则目标函数zx2y2的取值范围为()A2,8B4,13 C2,13D52，13 【答案】C 【解析】作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得zmin|OA|2|002|121222，zmax|OB|2322213.故z的取值范围为2,13 命题角度3 线性规划中的参数问题 (2018江西九江一模)如果实数x，y满足不等式组xy30，x2y30，x1，目标函数zkxy的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为()A1
9、B2C3D4【答案】B 【解析】作出其平面区域如图：A(1,2)，B(1，1)，C(3,0)，目标函数zkxy的最小值为0，目标函数zkxy的最小值可能在A或B时取得 若在A上取得，则k20，则k2，此时，z2xy在点C有最大值，z2306，成立；若在B上取得，则k10，则k1，此时，zxy，在点B取得的应是最大值，故不成立，故选B.微技探究 1先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 2当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2
10、)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率 3当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件 1.(2018湖北荆州一模)已知x，y满足约束条件yx，xy1，y1，则z2xy的最大值为()A3 B3 C1 D32【答案】A【解析】可行域如图所示：易知可行域为一个三角形，当直线z2xy过点A(2，1)时，z最大是3.故选A.2.(2016山东，4)若变量x，y满足xy2，2x3y9，x0，则x2y2的最大值是()A4B9C10D12【答案】C 【解析】由约束条件xy2，2x3y9，x0作出可行域如图，A(0，3)，C(0,2)，
11、|OA|OC|，联立xy2，2x3y9，解得B(3，1)|OB|232(1)210，x2y2的最大值是10.故选C.3.(2018福建福州模拟)若实数x，y满足不等式组 x20，y10，x2ya0，目标函数tx2y的最大值为2，则实数a的值是()A2B0C1D2【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域如图，由x2，x2y2 A(2,0)是最优解，直线x2ya0过点A(2,0)，所以a2，故选D.实际生活中的线性规划问题 1(2018上海八校联考)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组2ab5，ab2，a7，设这所学校今年计划最多招聘教师x名，则x()A10 B12 C1
12、3D16【答案】C 【解析】如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线ba0，并平移，结合a，bN，可知当a6，b7时，ab取最大值，故x6713.2(2018广东清远一模)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额 A(吨)3212 B(吨)128 A.12万元 B16万元C17万元D18万元【答案】D【解析】设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有3x2y12，x2y8，x0，y0，目标函数z3x4y
13、，作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线z3x4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为324318.微技探究 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈 1.(2018成都模拟)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载质量为10吨的甲型卡车和7辆载质量为6吨的乙型卡车某天需运
14、往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z()A4 650元B4 700元 C4 900元D5 000元【答案】C【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，则z450 x350y，由题意，x，y满足关系式 xy12，2xy19，10 x6y72，0 x8，0y7，作出相应的平面区域，z450 x350y50(9x7y)，在由xy12，2xy19确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元 2.(
15、2019湖北襄阳模拟)A，B两种规格的产品都需要在甲、乙两台机器上各工一道工序才能成为成品，已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元.【答案】1 700【解析】设在一个工作日内生产A产品x件，B产品y件，创造的利润为z元 则x，y满足约束条件3xy11，x3y9，xN，yN.目标函数z300 x400y.可行解为图中阴影部分(包含边界)内的整点显然z300 x400
16、y在点A(3,2)处取得最大值为1 700.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018天津，2)设变量x，y满足约束条件xy5，2xy4，xy1，y0，则目标函数z3x5y的最大值为()A6B19C21D45【答案】C【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由z3x5y得y35xz5.设直线l0为y35x，平移直线l0，当直线y35x z5过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax325321.故选C.2(2018全国，13)若x，y满足约束条件x2y20，xy10，y0，则z3x2y的最大值为_【答案】6【解析】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示 由z3x2y得y32xz2.作直线l0：
17、y32x.平移直线l0，当直线y32xz2过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.3(2018全国，14)若x，y满足约束条件x2y50，x2y30，x50，则zxy的最大值为_【答案】9【解析】由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)xy取得最大值斜率为1的直线xyz(z看作常数)的横截距最大，由图可得直线xyz过点C时z取得最大值 由x5，x2y30 得点C(5,4)，zmax549.4(2018北京，12)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_【答案】3【解析】由条件得x1y，y2x，即xy10，2xy0，作出可行域，如图中阴影部分所示 设z2yx，即y12x12z，作直线
18、l0：y12x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin2213.5(2018浙江，12)若x，y满足约束条件xy0，2xy6，xy2，则zx3y的最小值是_，最大值是_【答案】2 8【解析】由xy0，2xy6，xy2，画出可行域如图 由2xy6，xy2，解得A(4，2)，由xy0，2xy6，解得B(2,2)，将函数y13x的图象平移可知，当目标函数的图象经过点A(4，2)时，zmin43(2)2；当目标函数的图象经过点B(2,2)时，zmax2328.6(2017全国，14)设x，y满足约束条件x2y1，2xy1，xy0，则z3x2y的最小值为_【答案】5【解析】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示 平移直线3x2y0可知，目标函数z3x2y在点A处取最小值，又由x2y1，2xy1 解得x1，y1，即A(1,1)，所以zmin3(1)215.7(2017全国，13)若x，y满足约束条件xy0，xy20，y0，则z3x4y的最小值为_【答案】1【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)可得目标函数 z3x4y 在点 A(1,1)处取得最小值，zmin31411.