1、第十四章 选修部分 第69节 坐 标 系考纲呈现 1了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换 2了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化 3能在极坐标系中画出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程.诊断型微题组 课前预习诊断双基1平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 xx，0，yy，02极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算
2、角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点O称为极点，射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为点M的.称为M.一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径0.极角可取任意角 极径极角(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立：_或_，这就是极坐标与直角坐标的互化公式 xcos，ysin 2x2y2，tan yx
3、x03常见曲线的极坐标方程关于极坐标系 1极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，四者缺一不可 2由极径的意义知0，当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径0，极角可取任意角 3极坐标与直角坐标的重要区别：多值性 1若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0 x1)的极坐标方程为()A1cos sin ，02 B1cos sin ，04 Ccos sin，02 Dcos sin，04【答案】A【解析】y1x(0 x1)，sin 1cos 0cos 1；1sincos
4、(02)故选A.2(2016北京理)在极坐标系中，直线cos 3sin 10与圆2cos 交于A，B两点，则|AB|_.【答案】2【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为x3y10.圆2cos 化为22cos，x2y22x，(x1)2y21，圆心为(1,0)在直线上，因此|AB|2，故答案为：2.3极坐标方程6cos3 的直角坐标方程为_【答案】x2y23x3 3y0【解析】由已知可得6cos3 612cos 32 sin 则23cos 3 3sin 故可得x2y23x3 3y 即x2y23x3 3y 即x2y23x3 3y0 4在极坐标系中，圆心在(2，)且过极点的圆的方程为_
5、【答案】2 2cos 【解析】在极坐标系中，圆心在(2，)且过极点的圆的直角坐标方程：(x 2)2y22，即x2y22 2x0，它的极坐标方程为：2 2cos.形成型微题组 归纳演绎形成方法 极坐标与直角坐标的互化(2018四川成都模拟)已知曲线C1的极坐标方程为6cos，曲线C2的极坐标方程为 4(R)，请把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程【解】曲线C2：4(R)的直角坐标方程为yx.曲线C1：6cos，即26cos，所以x2y26x，即(x3)2y29.故曲线C1的直角坐标方程为(x3)2y29.微技探究 1极坐标与直角坐标互化的前提条件：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴
6、的正半轴重合；(3)取相同的单位长度 2直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换 (2016全国，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为xacos t，y1asin t(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【解】(1)消去参
7、数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆 将xcos，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 22sin 1a20，4cos.若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.求曲线的极坐标方程(2018甘肃张掖模拟)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sin4 1，圆C的圆心的极坐标是C1，4，圆的半径为1.
8、(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长【解】(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(，)为圆C上的一个动点，则AOD4或AOD4，OAODcos4 或OAODcos4，所以圆C的极坐标方程为2cos4.(2)由sin4 1，得 22(sin cos)1，直线l的直角坐标方程为xy 20.又圆心C的直角坐标为22，22 满足直线l的方程，直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为2.微技探究 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简
9、，得出曲线的极坐标方程 (2019辽宁沈阳教学质量检测)在直角坐标系xOy中，直线l：yx，圆C：x1cos，y2sin(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l与圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求CMN的面积【解】(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x1)2(y2)21，xcos，ysin，直线l的极坐标方程为4(R)，圆C的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将 4 代入22cos 4sin 40，得232 40，解得12 2，2 2，|MN|12|2，圆C的半径为1，CMN的面积为12 21sin 412.极坐标方程的应用
10、(2018河南天一联考)在极坐标系中，曲线C：4acos (a0)，l：cos3 4，C与l有且只有一个公共点(1)求a的值；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且AOB 3，求|OA|OB|的最大值【解】由题意，得曲线C是以(2a,0)为圆心，以2a为半径的圆 l的直角坐标方程为x 3y80.由直线l与圆C相切可得|2a8|22a，解得a43(舍负)(2)不妨设A的极角为，B的极角为3，则|OA|OB|163 cos 163 cos3 8cos 8 33 sin 16 33cos6.所以当6时，|OA|OB|取得最大值16 33.微技探究 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化
11、的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正半轴重合；取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系 (2017全国，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点
12、A的极坐标为 2，3，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值【解】(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1 4cos.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB的面积S12|OA|BsinAOB4cos sin3 2sin23 32 2 3.当 12时，S取得最大值2 3.所以OAB面积的最大值为2 3.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018全国，22)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2
13、.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程【解】(1)由xcos，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l
14、1所在直线的距离为2，所以|k2|k21 2，故k43或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k2|k212，故k0或k43.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k43时，l2与C2没有公共点 综上，所求C1的方程为y43|x|2.2(2018江苏，21C)在极坐标系中，直线l的方程为sin 6 2，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长【解】因为曲线 C 的极坐标方程为 4cos，所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆 因为直线l的极坐标方程为sin 6 2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为6，所以A为直线l与圆C的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB 6.如图，连接OB.因为OA为直径，从而OBA2，所以AB4cos62 3.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2 3.
