1、第十二章 概率、随机变量及其分布 第62节 二项分布及其应用考纲呈现 1了解条件概率与两个事件相互独立的概念，能够利用 n 次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题 2主要以实际问题为背景，考查条件概率的计算事件的相互独立性及 n 次独立重复事件发生的概率.诊断型微题组 课前预习诊断双基1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为P(B|A)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)nABnA(n(AB)表示AB共同发生的基本事件的个数)(2)条件概率具有的性质；如果B和C
2、是两个互斥事件，则P(BC|A).条件概率P(B|A)PABPA0P(B|A)1P(B|A)P(C|A)2相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称.(2)若A与B相互独立，则P(B|A)，P(AB)P(B|A)P(A).(3)若A与B相互独立，则，也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则.A，B 是相互独立事件 P(B)P(A)P(B)A 与 BA与 BA与 BA与B相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验 在条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)(2)二项分布 在n次独立重复试
3、验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为在n次独立重复试验中，事件A恰好发生是k的概率为P(Xk)(k0,1,2，n)相同P(A1)P(A2)P(An)XB(n，p)成功概率Cknpk(1p)nk 1相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(AB)P(A)P(B)2运用公式 P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件 A，B 相互独立时，公式才成立 1(2018 湖北黄冈模拟)某射击手射击一次命中的概率是
4、 0.7，连续两次均射中的概率是 0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是()A.710 B67C47D25【答案】C【解析】设“某次射中”为事件 A，“随后的一次射中”为事件 B，则 P(AB)0.4，P(A)0.7，所以 P(B|A)PABPA 47.故选 C.2(选修 A23P55T2(1)袋中有 5 个小球(3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A.35B34 C.12D 310【答案】C【解析】记事件 A 为“第一次取到白球”，事件 B 为“第二次取到白球”，则事件 AB 为“两次都取到白球”，依题意知 P
5、(A)35，P(AB)3524 310，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是 P(B|A)3103512.3(选修 A23P58T2)将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现 k1 次正面的概率，则 k_.【答案】2【解析】由 Ck512k125kCk1512k1125k1，即 Ck5Ck15，k(k1)5，k2.形成型微题组 归纳演绎形成方法 条件概率1(2018 广东江门一模)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()
6、A.1127B1124 C 827D 924【答案】C【解析】记从 1 号箱中取到红球为事件 A，从 2 号箱中取到红球为事件 B.由题意，P(A)42423，P(B|A)318149，P(AB)P(B|A)P(A)2349 827，两次都取到红球的概率为 827.2(2018 湖南永州一模)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”，则 P(B|A)_.【答案】14【解析】由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A)S正方形EFGHS圆O 2 212
7、 2.事件 AB 表示“豆子落在扇形 EOH 内”，则 P(AB)SEOHS圆O 121212 12.故 P(B|A)PABPA 12214.微技探究 1利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)PABPA，这是通用的求条件概率的方法 2借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得P(B|A)nABnA.【答案】A【解析】将“甲市为雨天”记为事件 A，“乙市为雨天”记为事件 B，则 P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，故 P(B|A)PABPA 0.120.20.6.
8、1.(2018 湖北襄阳模拟)甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占 20%，乙市占 18%，两市同时下雨占 12%.则在甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天的概率为()A0.6B0.7C0.8D0.66【答案】B【解析】“第一次摸出新球”记为事件 A，则 P(A)35，“第二次摸出新球”记为事件 B，则 P(AB)C26C21013，P(B|A)PABPA 133559.故选 B.2.(2019 甘肃张掖诊断)某盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球，不放回地依次摸出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为()A.35B59C
9、 110D25【解】记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知 P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25，且事件 E 与 F，E与 F，E 与 F，E与 F都相互独立(1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 HEF，于是 P(H)P(E)P(F)1325 215，故所求的概率为 P(H)1P(H)1 2151315.(2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0,100,120,220，因为 P(X0)P(EF)1325 215；P(X100)P(E F)1335 31515；P(X120)P(E F)2325 415；P(X220)P(EF)2335
10、61525.故所求利润的分布列为 X0100120220 P2151541525 相互独立事件的概率(2018黑龙江哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23 和 35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列【解】(1)设事件 A 为甲选中 3 号歌手，事件 B 为乙选中 3 号歌手，由题意可得 P(A)C12C2323，P(B)C24C3535.事件 A 与 B 相互
11、独立，A 与 B相互独立，则 A B表示事件“甲选中 3 号歌手，且乙没选中 3 号歌手”P(A B)P(A)P(B)P(A)1P(B)2325 415.(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则 P(C)C24C3535，依题意，A，B，C 相互独立，A，B，C 相互独立，且 AB C，A B C，ABC，ABC 彼此互斥 又 P(X2)P(AB C)P(A BC)P(ABC)2335252325351335353375，P(X3)P(ABC)2335351875，P(X2)P(X2)P(X3)337518751725.微技探究 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个
12、事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算 (2018 江西九江模拟)在一场晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众
13、甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率【解】(1)X 可能的取值为 10,20,100，200.根据题意，有 P(X10)C13121112238，P(X20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C03120112318.所以 X 的分布列为 X1020100200 P38381818(2)设“第 i 轮游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以，“三轮游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)11831 1512511512.因此，玩三轮游戏至少有一轮出现音乐的概率是
14、511512.独立重复试验与二项分布(2018 晋中四校联考)一款击鼓小游戏的规则如下：每轮游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐每轮游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓是否出现音乐相互独立(1)设每轮游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三轮游戏，至少有一轮出现音乐的概率是多少？【解】(1)X 可能的取值为 10,20,100，200.根据题意，有 P(X10)C13121112238，P(X20)C2312
15、2112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C03120112318.所以 X 的分布列为 X1020 100200 P38381818(2)设“第 i 轮游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以，“三轮游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)11831 1512511512.因此，玩三轮游戏至少有一轮出现音乐的概率是511512.微技探究 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利
16、用公式求概率(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率 (2018 河南开封模拟)在一次数学考试中，第 21 题和第 22 题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设 4 名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这 4 名学生中选做第 22 题的学生个数为，求 的分布列【解】(1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”，事件 B 表示“乙选做第 21 题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB A B”，且事件 A，B 相互独立 故 P(AB A
17、B)P(A)P(B)P(A)P(B)1212112 112 12.(2)随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4，且 B4，12，则 P(k)Ck412k1124kCk4124(k0,1,2,3,4)故 的分布列为 01234 P116143814116 目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2015 全国，4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432C0.36D0.312【答案】A【解析】记事件 M恰好投中 2 次，N3 次都投中，E通过测试，则事件 M 与
18、N 互斥，且 EMN.又 P(M)C23(0.6)2(10.6)0.432，P(N)C33(0.6)30.216，所以 P(E)P(MN)P(M)P(N)0.648.故选 A.2(2014 全国，4)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45【答案】A【解析】设“第一天空气质量为优良”为事件 A，“第二天空气质量为优良”为事件 B，则 P(A)0.75，P(AB)0.6，由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，根据条件概率公式得P(B|A)PABPA 0.60.750.8.3(2017 全国，13)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_.【答案】1.96【解析】由题意得 XB(100,0.02)，D(X)1000.02(10.02)1.96.4(2016 四川，12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X的均值是_【答案】32【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为 112234，且 XB2，34，所以均值是 23432.