1、第14节 导数的应用课时2 导数与函数的极值、最值形成型微题组 归纳演绎形成方法 利用导数研究函数的极值 1(2018 湖南岳阳一模)设函数 f(x)在 R 内可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)【答案】D【解析】由题图可知，当 x3，此时 f(x)0；当2x1 时，01x3，此时 f(x)0；当 1x2 时，11x0，此时 f
2、(x)2 时，1x0，由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值 2(2018 广东肇庆三模)已知函数 f(x)x3ax23x9，若 x3 是函数 f(x)的一个极值点，则实数 a_.【答案】5【解析】f(x)3x22ax3，由题意，知 x3 为方程 3x22ax30 的根，3(3)22a(3)30，解得 a5.3(2018 海南模拟)求函数 f(x)xaln x(aR)的极值【解】由 f(x)1axxax，x0 知(1)当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当 a0 时，令 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，
3、a)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa处取得极小值 aaln a，无极大值 微技探究 函数极值的两类热点问题(1)求函数 f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域；求导数 f(x)；解方程 f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验，f(x)在 f(x)0 的根 x0 左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证：求解后验证根的合理性 1.(2019
4、河南息县段测)已知函数 f(x)，其导函数 yf(x)的图象如图所示，则 f(x)()A在(，0)内为减函数 B在 x0 处取极小值C在(4，)内为减函数 D在 x2 处取极大值【答案】C【解析】使导函数 yf(x)0 的 x 的取值范围为函数 f(x)的增区间；使导函数 yf(x)0 的 x 的取值范围为函数 f(x)的减区间，故选C.2.(2018 安徽淮北二模)若函数 f(x)x36bx3b 在(0,1)内有极小值，则实数 b 的取值范围是()A(0,1)B(，1)C(0，)D0，12 【答案】D【解析】f(x)在(0,1)内有极小值，且 f(x)3x26b，由题意，函数 f(x)的草图
5、如图，f 00，即6b0，解得 0b0)求当a1 且函数图象过(0,1)时，函数的极小值【解】由题意，得 f(x)3ax24x1.函数图象过(0,1)时，有 f(0)c1.当 a1 时，f(x)3x24x1.令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数 f(x)在，13 和(1，)内单调递增；在13，1 内单调递减故函数 f(x)的极小值是 f(1)13212111.利用导数研究函数的最值(2018 河南郑州模拟)已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值【解】(1)由 f(x)(xk)ex 得 f(x)(xk1
6、)ex，令 f(x)0，得 xk1.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0 f(x)ek1 所以 f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k.当 0k11，即 1k2 时，由(1)，知 f(x)在0，k1)内单调递减，在(k1,1内单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1.当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k
7、)e.综上可知，当 k1 时，f(x)mink；当 1k0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)内的最大值【解】(1)f(x)2axbexax2bxcexex2 ax22abxbcex.令 g(x)ax2(2ab)xbc，由于 ex0.令 f(x)0，则 g(x)ax2(2ab)xbc0，所以3 和 0 是 yg(x)的零点，且 f(x)与 g(x)的符号相同 又因为 a0，所以3x0，即 f(x)0；当 x0 时，g(x)0，即 f(x)5f(0)，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e
8、5.微技探究 1.求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 2求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察最值 (2018 河北衡水中学月考)已知函数 f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求实数 b 的最大值【解】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a1xax1x.当 a0 时，f(x)0 在(0，)内恒成立，函数 f(x)在(0，)内单调递减 f(x)在(
9、0，)内没有极值点 当 a0 时，由 f(x)0，得 0 x0，得 x1a，f(x)在0，1a 内递减，在1a，内递增，即 f(x)在 x1a处有极小值 综上，当 a0 时，f(x)在(0，)内没有极值点；当 a0 时，f(x)在(0，)内有一个极值点(2)函数 f(x)在 x1 处取得极值，f(1)a10，则 a1，从而 f(x)x1ln x.因此 f(x)bx211xln xx b.令 g(x)11xln xx，则 g(x)ln x2x2，令 g(x)0，得 xe2，则 g(x)在(0，e2)内递减，在(e2，)内递增，g(x)ming(e2)11e2，即 b11e2.故实数 b 的最大值是 11e2.