1、学案2 一元二次不等式及其解法考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3考点4返回目录 考 纲 解 读 一元二次不等式的解法(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.考 向 预 测 从近几年的高考试题看，高考中常常以小题的形式考查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函数零点的分布以小题形式考查相应一元二次方程中未知参数的取值范围，或以解答题形式出现单独考查含参数的一元二次
2、不等式的解法，也可能与函数相结合考查参数的取值范围等.返回目录返回目录1.任何一个一元二次不等式都可变形为或(a0)的形式.2.设a0，x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1x2，对一元二次不等式ax2+bx+c0.(1)当a0时,若=b2-4ac0，则其解集为；ax2+bx+c0 ax2+bx+c0 x|xx2或xx1 若=b2-4ac=0，则其解集为;若=b2-4ac0，则其解集为.(2)当a0时,若=b2-4ac0，则其解集为;若=b2-4ac0;（2）-3x2-2x+80;（3）12x2-axa2(aR).【解析】(1)=42-4230恒成立，不等式2x2+4x+
3、30的解集为R.返回目录（2）原不等式可化为3x2+2x-80,=1000,方程3x2+2x-8=0的两根为-2,结合二次函数y=3x2+2x-8的图象可知原不等式的解集为x|-2x .3434返回目录(3)由12x2-ax-a20(4x+a)(3x-a)0,a0时，-,解集为x|x ;a=0时，x20，解集为x|xR且x0;a ,解集为x|x-.03ax4ax 4a3a4a3a4a3a3a4a返回目录已知f（x）=x2-2ax+2，当x-1,+)时，f（x）a恒成立，求a的取值范围.【分析】可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论.考点2
4、 含参数的一元二次不等式恒成立问题返回目录【解析】解法一：f（x）=（x-a）2+2-a2，此二次函数图象的对称轴为x=a.当a(-,-1)时，结合图象知，f（x）在-1,+）上单调递增，f（x）min=f(-1)=2a+3,要使f（x）a恒成立，只需f（x）mina,即2a+3a,解得a-3,又a-1,-3a-1;返回目录当a-1,+)时，f（x）min=f(a)=2-a2,由2-a2a,解得-2a1,又a-1,-1a1.综上所述，所求a的取值范围为-3a1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a0在-1,+)上恒成立，0a-1f(-1)0,解得-3a1.即=4a2-4（2-a）0 或 返回目
5、录解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解.返回目录当a为何值时，不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集是全体实数.【解析】当a2-1=0,即a=1时,若a=1,则原不等式为-10,恒成立.若a=-1,则原不等式为2x-10,即x ,不符合题目要求,舍去.21返回目录当a2-10,即a1时,原不等式的解集为R的条件是a2-10=(a-1)2+4(a2-1)0.解之得-a1.综上所述,当-a1时,原不等式的解集为全体实数.5353返回目录考点3 一元二次不等式的实际应用某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每月
6、卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)设x与y满足y=kx(0k1),利用k表示当每月售货总金额最大时x的值;(3)若y=x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.【分析】用所给出的已知量表示出定价、卖出数量、售货总金额，列出关系式，正确地将不等关系转化成不等式问题来求解.32返回目录【解析】(1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为p(1+)元,每月卖出数量为n(1-)件,每月售货总金额是npz元,因而npz=p(1+)n(1-),所以z=.(2)在y=kx的条件下,z=,整理可得10 x22k)k1(5xkk)k1(251001001z10y10
7、x10y100)y10)(x10(100)kx10)(x10(返回目录由于0k0,所以使z值最大的x值是x=.(3)当y=x时,z=,要使每月售货总金额有所增加,即z1,应有(10+x)100,即x(x-5)0,所以0 x39.5,移项整理，得x2+9x-7 1100,显然0，方程x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1=-88.94,x279.94.所以不等式的解集为x|x79.94.在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的速度至少为79.94 km/h.2x1801x201返回目录已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1),B(t2,y2)两点，且满足a2+(
8、y1+y2)a+y1y2=0.（1）证明：y1=-a或y2=-a;（2）证明：函数f(x)的图象必与x轴有两个交点；（3）若关于x的不等式f(x)0的解集为x|xm或xn,nm0.考点4 三个“二次”的关系问题返回目录(1)a2+(y1+y2)a+y1y2=0,(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.(2)当a0时,二次函数f(x)的图象开口向上,图象上的点A,B的纵坐标至少有一个为-a且小于零,图象与x轴有两个交点.【分析】三个“二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）把初中数学与高中数学紧密地联系在一起，因而也是高考命题的热点，解决三个“二次”问题的关键在于数形结合思想的运
9、算，也就是要利用图象来分析、解决问题.返回目录当a0的解集为x|xm或xn,nm0,从而方程cx2+bx+a=0有两个根为x1=,x2=,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x1=-,x2=-.nm0,-0的解集为x|x-或x0,a0时,ax2+bx+c0 xx2或xx1)(即大于大根或小于小根);ax2+bx+c0 x1xx2(即夹在两根之间).(2)解不等式的逆向问题是我们的薄弱点,是命题的亮点,是高考注重逆向思维考查的落脚点,因此我们应熟练掌握由一元二次不等式解的结构逆向推出不等式满足的条件的方法.返回目录已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为（1，3）.（
10、1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围.返回目录(1)因为f（x）+2x0的解集为（1，3），所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a0.因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a.由方程f（x）+6a=0，得ax2-（2+4a）x+9a=0.因为方程有两个相等的根，所以=-(2+4a)2-4a9a=0，即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a0,舍去a=1.将a=-代入得f（x）的解析式f（x）=-x2-x-.5151515653返回目录（2）由f（x）=ax2-2（1+2
11、a）x+3a=a-及a0,可得f（x）的最大值为.0,a0,故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是（-,-2-）(-2+,0).2)a2a+1-(xa1+4a+a2a1+4a+a-2a1+4a+a-2由解得a-2-或-2+a0.3333返回目录1.关于一元二次不等式的求解,主要是研究当二次项的系数为正值时的一种情形(当二次项的系数为负值时,可先化为正值来解决).对于一元二次不等式的解集,有的学生因为理解不够而死记硬背,常常将对应的一元二次不等式应该是空集还是全集混淆,要解决这个问题,最好的办法就是将一元二次不等式与对应的一元二次方程、一元二次函数的图象真正的联系起来，时刻注意数形结合，这样就不会出现那样的错误，要注意真正理解不等式解集的含义.返回目录2.对于含有参数的不等式,在求解过程中,注意不要忽视对其中的参数恰当的分类讨论，尤其是涉及形式上看似一元二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为0进行分类讨论，并且如果对应的一元二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论.返回目录