1、第51节 古典概型考纲呈现1理解古典概型及其概率计算公式 2会计算一些随机事件所包含的基本事件数及其事件发生的概率.诊断型微题组 课前预习诊断双基1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件；(2)每个基本事件出现的可能性 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件 A包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)mn.互斥基本事件古典概率模型只有有限个相等4古典概型的概率公
2、式 P(A)A包括的基本事件的个数基本事件的总数.1在计算古典概型中基本事件与要发生事件的事件数，易忽视它们是否是等可能的 2概率的一般加法公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当 AB，即 A，B 互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时P(AB)0.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从市场上出售的标准为(5005)g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型()(4
3、)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.()(5)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，且集合 A中的元素个数为 n，所有的基本事件构成集合 I，且集合 I 中元素个数为 m，则事件 A 的概率为nm.()2掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于()A.118B.19 C.16D.112【答案】B【解析】掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3
4、,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 种，其中点数和为 5 的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种，故所求概率为 43619.故选 B.3(2018 甘肃兰州诊断)从数字 1,2,3 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 30 的概率为()A.16B.13 C.12D.23【答案】B【解析】由题意知本题
5、是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从 3 个数字中选两个数字构成一个两位数，共有 6 种结果，两位数大于 30 的有：31,32，共 2 种结果，因此概率为2613.故选 B.4(教材习题改编)3 本不同的语文书，2 本不同的数学书，从中任意取出 2 本，取出的书恰好都是数学书的概率为_【答案】110【解析】设 3 本语文书为 A，B，C,2 本数学书为 a，b，则从中取出 2 本共有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 10 种情况，取出的恰好都是数学书的有：(a，b)，共 1 种情况，故所求
6、的概率为 110.形成型微题组 归纳演绎形成方法 基本事件与古典概型的判断 1(2018 河南洛阳统考)下列试验中，古典概型的个数为()向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合；从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于 2 的概率 A0B1 C2D3【答案】B【解析】根据古典概型的定义可知，的基本事件有无穷多个，的基本事件不是等可能的，属于几何概型，因而，、不属于古典概型而基本事件有有限个，且每个基本事件的概率相等，属于古典概型综上，题目中古典概型的个数有
7、 1 个故选 B.2(2018 辽宁沈阳模拟)有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 个正四面体玩具出现的点数，y 表示第 2个正四面体玩具出现的点数，试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件【解】(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(2
8、)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)微技探究 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 (2018 山东德州模拟)袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本
9、事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典慨型？【解】(1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有 11种不同的摸法 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型(2)由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 111，而白球有 5 个，故一次摸球摸到白球的可能性为 511，同理可知摸到黑球、红
10、球的可能性均为 311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色作为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 古典概型的概率 1(2018 河北衡水中学联考)已知 4 张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这 4 张卡片中选择 1 张，则他们选择同一张卡片的概率为()A1 B.116C.14D.12【答案】C【解析】甲、乙两人选择卡片的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个，选择同一张卡片的有
11、 4 个，所以他们选择同一张卡片的概率 P 41614，故选 C.2(2019 江西上饶质检)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品，现从 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为()A0.4B0.6 C0.8D1【答案】B【解析】(1)记 3 件合格品为 a1，a2，a3,2 件次品为 b1，b2，则任取 2 件构成的基本事件空间为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10 个元素 记“恰有 1 件次品”为事件 A，则 A(a1，b1)，(a1，b2)，(
12、a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共 6 个元素故其概率 P(A)6100.6.微技探究 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择 (2017 山东，16)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3 中选择 2 个国家去旅游(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括A1 但不包括 B1
13、的概率【解】(1)由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 15 个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共 3 个，故所求事件的概率 P 31515.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，
14、共 9 个 包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共 2 个，故所求事件的概率 P29.古典概型与统计的综合应用(2015 安徽，16)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80,90)，90,100 (1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40,50)的概率【解】(1)因为(0
15、.004a0.0180.02220.028)101，所以 a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有 500.006103(人)，记为 A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有 500.004102(人)，记为 B1，B2，从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2
16、，B1，B2所抽取 2 人的评分都在40,50)的结果有 1 种，即B1，B2，故所求的概率 P 110.微技探究 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一种重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息准确从题中提取信息是解题的关键 (2018 河南郑州模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级：050 为优；51100 为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；300 为严重污染一环
17、保人士记录了某地 2016 年某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图所示.(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数(按这个月总共 30 天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率【解】(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为 1，空气质量良的天数为 3，故该样本中空气质量优良的频率为 41025，估计该地本月空气质量优良的频率为25，从而估计该地本月空气质量优良的天数为 302512.(2)该样本中轻度污染共 4 天，分别记为 a1，a2，a3，a4；中度污染 1 天，
18、记为 b；重度污染 1 天，记为 c.从中随机抽取两天的所有可能结果表示为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共 15 个其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共 9 个 所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为 915，即35.易错警示 基本事件计数不正确致误【典例】王宁以游戏方式决定是去打球、
19、唱歌还是去下棋游戏规则为：以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这 6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若 X0 就去打球，若 X0 就去唱歌，若 X0 就去下棋(1)写出数量积 X 的所有可能取值；(2)分别求王宁去下棋的概率和不去唱歌的概率【错因分析】(1)没能准确计算出 X 的所有可能值，由数量积的运算知 X 可能取2，1,0,1，忽视OA2 OA5 2.(2)基本事件列举不全面，思维定势，如 X1，盲目认为向量共线，遗漏向量夹角为34 的 4 种情形【解】(1)X 的所有可能取值为2，1,0,1.(2)数量积为2 的有OA2
20、OA5，共 1 种，数量积为1 的有OA1 OA5，OA1 OA6，OA2 OA4，OA2 OA6，OA3 OA4，OA3 OA5，共 6 种 数量积为 0 的有OA1 OA3，OA1 OA4，OA3 OA6，OA4 OA6，共 4 种情形 数量积为 1 的有OA1 OA2，OA2 OA3，OA4 OA5，OA5 OA6，共 4 种情形 故所有可能的情况共有 15 种 所以王宁去下棋的概率为 P1 715；因为去唱歌的概率为 P2 415，所以王宁不去唱歌的概率 P1P21 4151115.微技探究 1.准确理解题意，向量数量积由向量的模、夹角共同确定，要考虑各种情形，注意分类求解 2计算基本
21、事件总数时，画出几何图形、树形图，通过分类列举法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段 从集合2,3,4,5中随机抽取一个数 a，从集合1,3,5中随机抽取一个数 b，则向量 m(a，b)与向量 n(1，1)垂直的概率为()A.16 B.13 C.14 D.12【答案】A【解析】由题意可知 m(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 12 种情况 因为 mn，即 mn0，所以 a1b(1)0，即 ab，满足条件的有(3,3)，(5,5)共 2 个，故所求的概率为16.故选 A.
22、目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2017 全国，11)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110 B.15C.310 D.25【答案】D【解析】如下表所示，表中的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数.12345 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,
23、5)总计有 25 种情况，满足条件的有 10 种 所以所求概率为102525.2(2017 天津，3)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35 C.25D.15【答案】C【解析】从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P 41025.故选 C.3(2016 全国，3)为美化环境，从红、黄、白、
24、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12 C.23 D.56【答案】C【解析】从 4 种颜色的花中任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有(红黄)，(白紫)，(白紫)，(红黄)，(红白)，(黄紫)，(黄紫)，(红白)，(红紫)，(黄白)，(黄白)，(红紫)，共 6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有(红黄)，(白紫)，(白紫)，(红黄)，(红白)，(黄紫)，(黄紫)，(红白)，共 4 种，故所求概率 P4623，故选 C.4(2016 全国，5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815 B.18 C.115D.130【答案】C【解析】第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为 15，密码正确只有一种，概率为 115，故选 C.
