1、第八章 不等式、推理与证明 第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情索引核心素养1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2018全国卷，T142018全国卷，T142017全国卷，T72017全国卷，T52016全国卷，T161.数学建模2.数学运算3.直观想象1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0不包括_AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域包括_不等式组各个不等式所表示平面区域的_边界直线边界直线公
2、共部分2.线性规划中的相关概念名 称意 义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的_不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数_，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的_解析式可行解满足线性约束条件的解_一次解析式一次(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得_或_的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_或_问题最大值最小值最大值最小值1确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域：当C0时，常把原点作为测试点；
3、当C0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点2求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，利用其几何意义，通过求yabxzb的截距zb的最值间接求出z的最值，要注意：当b0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值当b0的情形恰好相反1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能不唯一()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()(4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()答案：(1)(2)(3)
4、(4)2教材衍化(1)(人A必修5P86练习T3改编)不等式组x3y60，xy20，表示的平面区域是()解析：x3y60表示直线x3y60左上方的平面区域，xy20表示直线xy20及其右下方的平面区域，故选C.答案：C(2)(人A必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件yx，xy1，y1，则z2xy1的最大值、最小值分别是()A3，3 B2，4C4，2 D4，4解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A(1，1)，B(2，1)，C12，12，画直线 l0：y2x，平移 l0 过点 B 时，zmax4，平移 l0 过点 A 时，zmin2.故选 C.答案：C3典题体
5、验(1)(2019茂名综合测试)已知变量x，y满足约束条件y2，xy4，xy1，则z3xy的最小值为()A11 B12C8 D3解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z3xy，得y3xz，作直线l0：y3x，平移直线l0，由图形可得，当直线y3xz经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取最小值由y2，xy4，解得x2，y2，故点A的坐标为(2，2)所以zmin3228.故选C.答案：C(2)(2017全国卷)设x，y满足约束条件3x2y60，x0，y0，则zxy的取值范围是()A3，0 B3，2C0，2 D0，3解析：由题意，画出可行域如图中阴影部分所示，易知 A
6、(0，3)，B(2，0)由图可知，目标函数 zxy 在点 A，B 处分别取得最小值与最大值，zmin033，zmax202，故zxy的取值范围是3，2故选B.答案：B(3)(2018全国卷)若x，y满足约束条件x2y20，xy10，y0，则z3x2y的最大值为_解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由z3x2y得y32xz2.作直线l0y32x.平移直线l0，当直线y32x z2过点(2，0)时，z取最大值，zmax32206.答案：6考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域(讲练互动)【例1】(2019北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组 3xy0，x 3y20，y0，表
7、示的平面区域的面积是()A.32 B.3C2 D2 3解析：作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(2，0)和A(1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为 12 2 3 3，故选B.答案：B【例2】(2019深圳二模)已知直线ykx3经过不等式组xy20，2xy4，y4，所表示的平面区域，则实数k的取值范围是()A.72，32B.，72 32，C.72，74D.，72 74，解析：画出不等式组xy20，2xy4，y4，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，直线ykx3过定点M(0，3)，由y4，xy20，解得A(2，4)，当直线ykx3过点A
8、时，k340（2）72；由2xy4，xy20，解得B(2，0)，当直线ykx3过点B时，k 3002 32.由图形知，实数k的取值范围是，72 32，.故选B.答案：B确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法1“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式若满足不等式，则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分2当不等式中不等号为或时，边界应画为实线，不等号为或时，边界应画为虚线，特殊点常取原点变式训练(2019玉溪模拟)已知不等式组yx2，ykx1，y0所表示的平面区域为
9、面积等于14的三角形，则实数k的值为()A1 B12C.12D1解析：由题意知k0，且不等式组yx2，ykx1，y0，所表示的平面区域如图中阴影部分所示因为直线ykx1与x轴的交点为1k，0，直线yx2与x轴的交点为(2，0)，直线ykx1与直线yx2的交点为3k1，2k1k1，所以三角形的面积为1221k 2k1k1 14，解得k1或k27，经检验，k27不符合题意，所以k1.故选D.答案：D考点2 线性规划中的最值问题(多维探究)角度 求线性目标函数的最值【例1】(2018全国卷)若变量x，y满足约束条件2xy30，x2y40，x20，则zx13y的最大值是_解析：画出可行域如图中阴影部分
10、所示，由 zx13y 得 y3x3z，作出直线 y3x，并平移该直线，当直线 y3x3z 过点 A(2，3)时，目标函数 zx13y取得最大值为 21333.答案：3角度 求非线性目标函数的最值【例2】(2019济南一模)若变量x，y满足约束条件x1，xy0，x2y20，则yx的最大值为()A1 B3 C.32 D5解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，是以(1，1)，1，32，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，yx表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点1，32 与原点的连线斜率最大，即yx 的最大值为32132，故选 C.答案：C角度 线性规划中
11、的参数问题【例3】(2019肇庆二模)已知实数x，y满足约束条件2xy0，yx，yxb，若z2xy的最小值为3，则实数b()A.94B.32C1 D.34解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示由z2xy得y2xz，平移直线y2x，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线y2xz的截距最小，此时z最小，为3，即2xy3.由2xy3，y2x，解得x34，y32，即A34，32，又点A也在直线yxb上，即3234b，所以b94.故选A.答案：A1求目标函数最值的解题步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线中过原点的那一条直线；(2)平移将直线平行移动，以确定最
12、优解对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值2常见的三类目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如zybxa.易错警示：注意转化的等价性及几何意义变式训练1设x，y满足约束条件x2y1，2xy1，xy0，则zy2x的最小值为()A23 B.13C13D3解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由zy2x，得y2xz，当直线y2xz经过点A时，直线
13、y2xz的纵截距最小，此时z取最小值，由x2y1，xy0，解得x13，y13，即A13，13，则zmin1321313.故选C.答案：C2若x，y满足xy1，mxy0，3x2y20，且z3xy的最大值为2，则实数m的值为()A.13B.23C1D2解析：若 z3xy 的最大值为 2，则此时目标函数为 y3x2，直线 y3x2 与 3x2y20 和 xy1分别交于点(2，4)，34，14，mxy0 经过其中一点，所以 m2 或 m13，当 m13时，经检验不符合题意，故m2，故选 D.答案：D考点3 线性规划的实际应用(讲练互动)【例】(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两
14、种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析：设出产品A、产品B的产量，列出产品A，B的产量满足的约束条件，转化为线性规划问题求解设生产产品A x件，产品B y件，则1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，xN*，y0，yN*.目标函数z2 100 x900y.作出可行域为图中的阴影
15、部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)当直线z2 100 x900y经过点(60，100)时，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 0001解线性规划应用题的步骤转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；求解解这个纯数学的线性规划问题；作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题变式训练(2019湖北调考)某单位植树节计
16、划种杨树x棵，柳树y棵，若x，y满足约束条件2xy5，xy2，x7，则该单位计划栽种这两种树的棵数最多为_解析：作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分中的整点所示(不包含边界)，设zxy，则yxz，由图易得使得yxz在y轴的截距最大的点为x7与2xy50交点附近的整点，易知当目标函数过点(6，6)时取得最大值，所以该单位计划栽种这两种树的棵数最多为12.答案：12核心素养欣赏 直观想象简单线性规划问题中的动态探析直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，探索解决问题的思路求解线性规划问题的基本思路是在一定约束条件下，通过数形结合求最优解
17、动态一：目标函数含参【例1】记不等式组x0，x3y4，3xy4，所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_解析：由可行域(如图中阴影部分所示)易知直线ya(x1)过定点P(1，0)当直线ya(x1)经过x3y4与3xy4的交点A(1，1)时，a取得最小值12；当直线ya(x1)经过x0与3xy4的交点B时，a取得最大值4.故a的取值范围是12，4.答案：12，4【点评】“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规划问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数此类试题旨在考查逆向思维及数形结合解决问题的能力其中，当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然
18、后用数形结合思想，通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解动态二：线性约束条件含参【例2】已知z2xy，其中实数x，y满足yx，xy2，xa，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是()A.211 B.14 C4 D.112解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示：由z2xy得y2xz，平移直线y2x，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最大，由xy2，yx，解得x1，y1，即A(1，1)，zmax2113，当直经y2xz经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小，由xa，yx，解得xa，ya，即B(a，a)，zmin2aa3a，因为z的最大值是最小值的4倍，所以343a，即a14，故选B.答案：B【点评】当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题