1、高中数学解题思想（二） 分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位
2、置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。、再现性题组：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范围是_。A. 0a1 B. a1 C. a1
3、D. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，则p、q的大小关系是_。A. pq B. pq D.当a1时，pq；当0a1时，p0、a0、a1、0a1两种情况讨论，选C；3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案4,-2,0；4小题：分、0、0、x0两种情况，选B；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。、示范性题组：例1. 设0x0且a1，比较|log(1x)|与|log(1x)|的大小。【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。【解】 0x1
4、01x1 当0a0，log(1x)0; 当a1时，log(1x)0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)0；由、可知，|log(1x)|log(1x)|。【注】本题要求对对数函数ylogx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a1时其是增函数，当0a1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： . CAB且C中含有3个元素； . CA 。【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：属于A 元素
5、；不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】 CCCCCC1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即CC1084。例3. 设a是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 . 证明： 0，使得lg（Sc）成立？并证明结论。 【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q1和q1两种情况。【解】 设a的公比q，则a0，q0 当q1时，
6、Sna，从而SSSna(n2)a(n1)aa0； 当q1时，S，从而SSSaq0；由上可得SSS，所以lg(SS)lg(S)，即lgS。. 要使lg（Sc）成立，则必有(Sc)(Sc)(Sc),分两种情况讨论如下：当q1时，Sna，则(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca0当q1时，S，则(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS0, 使得lg（Sc）成立。【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。例1、例2、例3属于涉
7、及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。例4. 设函数f(x)ax2x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。 1 4 x 1 4 x【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当a0时，f(x)a（x）2 或或 a1或a；当a 。【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的
8、图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例5. 解不等式0 (a为常数，a)【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a0、a0、a0、a0时，a； 4a0 。 所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax0)， y2ya 解得：y1 （0a1）由上可得，z(1)或(1)【注】本题用标准解法（设zxy再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘
9、隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。【另解】 设zxy，代入得 xy22xya； 当y0时，x2|x|a，解得x(1)，所以z(1)；当x0时，y2|y|a，解得y(1)，所以(1)。由上可得，z(1)或(1)【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy0而分x0和y0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。例7. 在xoy平面上给定曲线y2x，设点A(a,0)，aR，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约
10、束条件x0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。【解】 设M(x,y)为曲线y2x上任意一点，则|MA|(xa)y(xa)2xx2(a1)xax(a1)(2a1)由于y2x限定x0，所以分以下情况讨论：当a10时，xa1取最小值，即|MA2a1；当a10时，x0取最小值，即|MAa；综上所述，有f(a) 。【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到df(a)的函数表达式。、巩固性题组：1. 若loglog(xa) (a0且a1)11.设首项为1，公比为q (q0)的等比数列的前n项和为S，又设T，求T 。12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|2，求z 。13. 有卡片9张，将0、1、2、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。14. 函数f(x)(|m|1)x2(m1)x1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。