1、向量的应用一、单选题1在等式; ；若，则；正确的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】C【分析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，错误；0乘以任何向量都为零向量，正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误；向量模的平方等于向量的平方，正确；不一定有，故错误；故选：C【点睛】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题.2已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【分析】在，上分别取单位向量，作，则平分，用表示出代入条件式，用表示出，则可
2、证明，三点共线，即平分【详解】在，上分别取点，使得，则以，为邻边作平行四边形，如图，则四边形是菱形，且为的平分线，即，三点共线，即在的平分线上同理可得在其他两角的平分线上，是的内心故选：【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3已知点，点，点的横坐标、纵坐标都为整数，则的面积的最小值为（ ）AB1CD3【答案】C【分析】利用结论，则求出三角形面积，分析可得最小值（需要先证明此结论）【详解】先证明一个结论，若，则，下面对此作出证明：在本题中，设，则，所以，因为，都是整数，所以，所以故选：C【点睛】结论点睛：本题考查三角形的面积，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标
3、常常是已知的，此时有结论：，则二、填空题4设点在内部，且，则与的面积之比为_.【答案】【分析】本题可根据奔驰定理以及得出结果.【详解】因为点在内部，满足奔驰定理，且，所以与的面积之比为，故答案为：.【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考查计算能力，是简单题.5在静水中划船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是_【答案】【分析】如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为，根据平行四边形法则得到，然后在直角三角形中，计算出，可得.【详解】如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为
4、，由题意可知，且，在直角三角形中，所以，所以，所以船行进的方向与水流方向所成角是.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的应用，考查了平行四边法则，属于基础题.6已知三个力，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力_【答案】【分析】根据及其向量加法的坐标运算可得答案.【详解】依题意可得，所以，所以，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算，属于基础题.7如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为Q上及内部的动点，设向量.则mn的取值范围是_.【答案】2，5【详解】由已知得，则=.注意到，等于在方向的投影乘以.当点Q在点c处
5、、点P在BC上时，在方向的投影最短为2；当点Q在点D处、点P在AD上时，在方向的投影最长为5.综上， 故答案为2，58已知,则|_【答案】5【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.【详解】解:因为,故答案为:5【点睛】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.9一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功为_【答案】【分析】根据力所做的功，利用平面向量数量积公式，代入已知数据计算即可【详解】因为力，位移由数量积的物理意义可知，力所做的功故答案为11【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查数量积的物理意义，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题10一条河两岸平
6、行,河宽2km,一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸若船速为26km/h,水流速度为10km/h,则该快艇到达对岸的最快时间为_分钟【答案】5【分析】画图分析,根据向量的平行四边形法则求解当船朝正对岸行驶时的速度,再求出行驶时间即可.【详解】易得当船速与水流速度的和速度垂直于岸边时最快到达,此时.故最快时间为 故答案为：5【点睛】本题主要考查了平面向量在物理中的运用,需要根据题意确定船速与水速间的关系,再根据勾股定理求得实际行船速度.属于基础题.11已知满足，是的外心，且，则的面积是_.【答案】或【分析】设的中点为，根据条件和是的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求得和、三点共线，在直
7、角三角形中求出，代入三角形的面积公式求出的面积；当时，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出的面积.【详解】如图：，是的外心，设的中点为，则，即、三点共线.是的外心，当时， ，则，的面积；当时，此时，即，的面积，综上可得，的面积是或.故答案为：或.【点睛】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题.三、解答题12已知向量、的夹角为.（1）求的值（2）若和垂直，求实数的值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可（2）利用可求实数的值【详解】（1）（2）因为和垂直，故，整理
8、得到：即，解得【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量垂直的等价条件是，本题属于基础题13已知.（1）求；（2）若，求的取值范围；（3）设的三边分别是、，周长为1，若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】先将函数化简可得（1）直接将代入化简的表达式可求出答案(2)由时，可得，得出答案.(3)先由条件求出，再由余弦定理可得，结合条件利用均值不等式有，求出的最大值，从而得出答案.【详解】由 （1） （2）当时，所以（3）由，得所以，即由余弦定理有： 由条件由， 则所以，即所以，则可得，即 所以【点睛】本题考查三角恒等变形化简，余弦定理的应用，求三角形的面积的最值，属于中档题.
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