1、第5讲 选择题的解题方法 第一编讲方法题型特点解读 选择题在高考中题目数量多，占分比例高，概括性强，知识覆盖面广，注重多个知识点的小型综合我们在解题时要充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，选最简解法，以准确、迅速为宗旨，绝不能“小题大做”方法 1 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择例 1(1)(2019开封市高三第三次模拟)空气质量指数 AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大
2、说明空气污染状况越严重，空气质量越差某地环保部门统计了该地区某月 1 日至 24 日连续 24 天的空气质量指数 AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图：给出下列四个结论：该地区在该月 2 日空气质量最好；该地区在该月 24 日空气质量最差；该地区从该月 7 日到 12 日 AQI 持续增大；该地区的空气质量指数 AQI与这段日期成负相关其中所有正确结论的编号为()ABCD答案 B解析 对于，由于 2 日的空气质量指数 AQI 最低，所以该地区在该月2 日空气质量最好，所以正确；对于，由于 24 日的空气质量指数 AQI 最高，所以该地区在该月 24 日空气质量最差，所以正确；对于，从折
3、线图上看，该地区从该月 7 日到 12 日 AQI 持续增大，所以正确；对于，从折线图上看，该地区的空气质量指数 AQI 与这段日期成正相关，所以错误故选 B.(2)(2019洛阳市高三第三次统一考试)若 m，n，p(0，1)，且 log3mlog5nlg p，则()答案 A涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些现成结论的使用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质等1(2019北京丰台区高三上学期期末)过双曲线x2a2y2b2
4、1(a0，b0)的一个焦点 F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为 A，O 为坐标原点，若|OA|12|OF|，则此双曲线的离心率为()A.2 B.3 C2 D.5答案 C解析 在 RtOAF 中，tanAOFba，所以 cosAOFaa2b2ac，且|OF|c，所以|OA|a.根据题意有 a12c，即离心率ca2.2(2019西安市高三第三次质检)将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，并使得平面 ABC 垂直于平面 ACD，直线 AB 与 CD 所成的角为()A90 B60 C45 D30答案 B解析 如图，取 AC，BD，AD 的中点，分别为 O，M，N，则 ON12CD，MN12AB
5、，所以ONM 或其补角即为所求的角因为平面 ABC 垂直于平面ACD，BOAC，所以 BO平面 ACD，所以 BOOD.设正方形边长为 2，OBOD 2，所以 BD2，则 OM12BD1.所以 ONMNOM1.所以OMN 是等边三角形，故ONM60.所以直线 AB 与 CD 所成的角为 60.故选 B.方法 2 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论 例 2(1)(2019南宁模拟)设函数f(x)log24x1，x2，12x1，x2，若 f(x0)3，则 x0 的取值范围为()A(，0)(
6、2，)B(0,2)C(，1)(3，)D(1,3)答案 C解析 取 x01，则 f(1)121323，故 x01，排除 B，D；取 x03，则 f(3)log283，故 x03，排除 A.故选 C.(2)已知函数 f(x)axbxc2的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，b0，c0，则 c0，故 b0，排除 D；当 x时，f(x)0，则 a0，排除 A.综上所述，故选 C.排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况(1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定(2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步
7、排除，直至得到正确的选择1已知向量 a(2，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是()A.12，2(2，)B(2，)C.12，D.，12答案 A解析 解法一：因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0，且 a 与 b 不反向，所以210 且 2，解得 12，2(2，)解法二：因为当 0 时，a 与 b 的夹角为钝角，排除 B，D；当 2 时，a 与 b 的夹角为，排除 C，故选 A.2函数 f(x)x2lg|x|3|x|的图象大致是()答案 D解析 由函数的解析式得，函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)x2lg|x|3|x|f(x)，故函数 f(x)在
8、定义域内是偶函数当 x1 时，f(x)0，当 x(0,1)(1,0)时，f(x)0，排除 B.由 f56 sin521cos5611 320，排除 C，故选 D.在题设条件成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而可清晰、快捷地得到答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解高考数学选择题的最佳策略1在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，B 是 A 和 C 的等差中项，则 ac 与 2b 的大小关系是()Aac2bBac2bCac2bDac2b解析 不妨令 ABC60，则可排除 A，B；再令 A30，B60，C90，可排除 C，故选 D.答案 D2设 x，
9、y，z 为正实数，且 log2xlog3ylog5z0，则x2，y3，z5的大小关系不可能是()A.x2y3z5B.y3x2z5C.x2y3z5D.z5y3x2答案 B解析 取 x2，则由 log2xlog3ylog5z 得 y3，z5，此时易知x2y3z5，此时 C 正确取 x4，则由 log2xlog3ylog5z 得 y9，z25，此时易知x2y3z5，此时 A 正确取 x 2，则由 log2xlog3ylog5z 得 y 3，z 5，此时易知z5y3cbBbcaCcabDcba答案 C解析 由题意得 aln 9，bln 8，ab.ca6e2ln 323eln 3 23eln 3e，设
10、f(x)xeln x，f(x)1ex，令 f(x)0，得 xe，故 f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，f(x)minf(e)0，又 x0 和 x时，f(x)，作出 f(x)的大致图象如图所示故当 xe 时，f(x)0，3e，f(3)0，即 3eln 30，ca0，即 ca.故 cab.故选 C.2过点(2，0)引直线 l 与曲线 y 1x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于()A.33B 33C 33D 3答案 B解析 根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解由于 y 1x2，即 x2y21(y0)，直线 l 与 x2y21
11、(y0)交于 A，B 两点，如图所示，SAOB12sinAOB12，且当AOB90时，SAOB 取得最大值，此时 AB 2，点 O 到直线 l 的距离为 22，则OCB30，所以直线 l 的倾斜角为 150，则斜率为 33.方法 5 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次例 5(1)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB，EF32，EF 与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积
12、为()A.92B5 C6 D.152答案 D解析 连接 BE，CE，问题转化为求四棱锥 EABCD 与三棱锥 EBCF的体积之和，设四棱锥 EABCD 的高为 h，则 V 四棱锥 EABCD13S 正方形 ABCDh13926，所以只有 D 符合题意(2)已知函数 f(x)2sin(x)10，|2，其图象与直线 y1相邻两个交点的距离为.若 f(x)1 对于任意的 x 12，3 恒成立，则 的取值范围是()A.6，3B.12，2C.12，3D.6，2答案 A解析 因为函数 f(x)的最小值为211，由函数 f(x)的图象与直线 y1 相邻两个交点的距离为 可得，该函数的最小正周期为 T，所以2
13、，解得 2.故 f(x)2sin(2x)1.由 f(x)1，可得 sin(2x)0.又 x 12，3，所以 2x6，23.对于 B，D，若取 2，则 2x23，76，在，76 上，sin(2x)0，不符合题意；对于 C，若取 12，则 2x 12 12，34，在 12，0 上，sin(2x)0，不符合题意选 A.估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法可从题设条件估计大致范围、大致区间等，也可找端点、极限位置，从而达到求解的目的1(2019全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5125120.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯
14、”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 512.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是()A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm答案 B解析 设某人身高为 m cm，脖子下端至肚脐的长度为 n cm，则由腿长为105 cm，可得m105105 5120.618，解得 m169.890.由头顶至脖子下端的长度为 26 cm，可得26n 5120.618，解得 n42.071.由已知可得26nmn26 5120.618，解得 m178.218.综上，此人身高 m 满足 169.89
15、0m178.218，所以其身高可能为 175 cm.故选 B.2已知球 O 的直径 FC4，A，B 是该球球面上的两点，AB 3，AFCBFC30，则三棱锥 FABC 的体积为()A3 3B2 3C.3D1答案 C解析 解法一：(一般解法)根据题意画出图象如图所示，因为 FC 为球的直径，所以FACFBC90.又AFCBFC30，所以 ACBC2，FAFB2 3，设 D 为 AB的中点，连接 FD，则 FDAB，由 FD2FA2AD2 得 FD3 52，所以 SFAB12ABFD3 154.连接球心 O 与底面三角形 FAB 的外接圆圆心 O1，可知 OO1底面 FAB，则三棱锥 CFAB 的
16、高 h 与 OO1 平行，又 O 为 FC 的中点，易知h2OO1，经计算可得OO12 55，所以三棱锥CFAB的高h2OO14 55，所以 V 三棱锥 FABCV 三棱锥 CFAB13SFABh133 1544 55 3.故选 C.解法二：(估算法)观察此题选项，发现大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出三棱锥 FABC 的体积的近似值，然后直接选取与近似值最接近的选项计算完 SFAB12ABFD3 154后，我们将三棱锥 CFAB 的高 h近似认为是 AC，则 V 三棱锥 FABCV 三棱锥 CFAB13SFABAC133 1542 152，再与选项比较，可以发现与选项 C 接近，所以直接选 C.本课结束