1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)概率(文)第九节 离散型随机变量的均值与方差(理)基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲柄线所表示的意义.备考知考情从近几年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择题、填空题，属中档题，常与排列组合、概率等知识综合命题，以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考对本专题考查的命题方向，如 2014
2、 陕西理 9、福建理 18.考查逻辑思维能力、辨识转化能力和计算能力.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知识梳理知识点一离散型随机变量的均值1.若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称 E(X)为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的2若 YaXb，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且E(aXb).3若 X 服从两点分布，则 E(X)；若 XB(n，p)，则 E(X).x1p1x2p2xipixnpn平均水平aE(X)bpnp知识点二离散型随机变量的方差1.设离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pip
3、n则称 D(X)为随机变量 X 的方差，其为随机变量 X 的标准差，记作.i1n(xiE(x)2pi算术平方根 DXX2D(aXb)3若 X 服从两点分布，则 D(X)4若 XB(n，p)，则 D(X).a2D(X)p(1p)np(1p)知识点三正态分布1.正态分布的定义及表示如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)ab，(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 XN(，2)2正态曲线的特点(1)曲线位于 x 轴，与 x 轴；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在 x 处达到峰值；(4)曲线与 x 轴之间的面积为；(5)当 一定时，曲线随着 的变化而
4、沿 x 轴平移；上方不相交x1 21(6)当 一定时，曲线的形状由 确定，曲线越“瘦高”，表示总体的分布；，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越3正态分布的三个常用数据(1)P(X)；(2)P(2X2)；(3)P(32)0.023，则 P(22)_.解析 0，P(2)P(2)0.023，P(22)120.0230.954.答案 0.954研考点 知规律 通法悟道R 热点命题深度剖析问题探究问题 1 离散型随机变量的均值与方差有什么实际意义？(1)均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值的取值平均状态(2)D(X)表示随机
5、变量 X 对 E(X)的平均偏散程度，D(X)越小，X 的取值越集中，D(X)越大，X 的取值越分散问题 2 均值与方差有什么性质？掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若 B(n，p)，则 E()np，D()np(1p)问题 3 关于正态总体在某个区域内取值的概率求法？1熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值2充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.3正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于 x 对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(xa)P(Xa)高频考点考点一离散型随机变量均值与方差
6、的求法【例 1】设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E()53，D()59，求 abc.听 课 记 录(1)由题意得 2,3,4,5,6.故 P(2)336614，P(3)23266 13，P(4)2312266 518，P(5)22166 19；P(6)1166 136.所以
7、 的分布列为23456P141351819136(2)由题意知 的分布列为123Paabcbabccabc所以 E()aabc2babc3cabc53，D()1532aabc2532babc3532cabc59.化简得2ab4c0，a4b11c0，解得 a3c，b2c，故 abc321.【规律方法】求离散型随机变量 的均值与方差的步骤(1)理解 的意义，写出 可能的全部值(2)求 取每个值的概率(3)写出 的分布列(4)由均值的定义求 E()(5)由方差的定义求 D()变式思考 1 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品
8、检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2 Y8910P0.40.20.4其中 X 和 Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料解 E(X)80.290.6100.29，D(X)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；E(Y)80.490.2100.49；D(Y)(89)20.4(99)20.2(109)20.40.8.由此可知，E(X)E(Y)9，D(X)E(3X2)所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大【规律方法】求离散型随机变量的均值与方差的
9、方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解(2)若随机变量 XB(n，p)，则可直接使用公式 E(X)np，D(X)np(1p)求解变式思考 2 某人投弹命中目标的概率 p0.8.(1)求投弹一次，命中次数 X 的均值和方差；(2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差解(1)随机变量 X 的分布列为X01P0.20.8因为 X 服从两点分布，故 E(X)p0.8，D(X)p(1p)0.80.20.16.(2)由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即 YB(10,0.8)，E(Y)np100.88，D(Y)np(1p)100.80.21.6.考点三均值与方差在决策
10、中的应用【例 3】(2014四川卷)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少；(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因听 课 记 录(1)X 可能
11、的取值为：10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C13121112238，P(X20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C 03120112318.所以 X 的分布列为X1020100200P38381818(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)11831 1512511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为 E(X)1038203810
12、0182001854.这表明，获得分数 X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大【规律方法】(1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列(2)随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据变式思考 3 某投资公司在 2014 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和2
13、9；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和 115.(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润本金)可以翻一番？(参考数据：lg 20.301 0,lg30.477 1)解(1)若按“项目一”投资，设获利为 X1 万元则 X1 的分布列为X1300150P7929E(X1)30079(150)29200(万元)若按“项目二”投资，设获利
14、X2 万元，则 X2 的分布列为：X25003000P3513115E(X2)50035(300)130 115200(万元)D(X1)(300200)279(150200)22935 000.D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2 115140 000.所以 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资(2)假设 n 年后总资产可以翻一番，依题意，1 0001 2001 000n2 000，即 1.2n2，两边取对数得：nlg22lg2lg310.301 020.301 00.
15、477 113.805 3.所以大约 4 年后，即在 2017 年年底总资产可以翻一番考点四正态分布【例 4】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N(，22)，且正态分布密度曲线如下图所示若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数是()A997 B954C819 D683【思维启迪】解决本题的关键是求 P(58.5X62.5)听 课 记 录 由题意，可知 60.5，2，故 P(58.5X62.5
16、)P(X)0.682 6，从而属于正常情况的人数是 1 0000.682 6683.答案 D【规律方法】解此类问题一定要把握服从 N(，2)的随机变量 X 在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向 P(X)，P(2X2)，P(3X3)转化，然后利用特定值求出相应概率同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 这些特殊性质变式思考 4(1)若随机变量 服从正态分布 N(0,1)，已知 P(1.96)0.025，则 P(|1.96)()A0.025 B0.050C0.950 D0.975(2)随机变量 服从正态分布 N(1，2)，已知 P(0)0.3，则P(2)_.解析(1)由
17、随机变量 服从正态分布 N(0,1)，得 P(1.96)1P(1.96)，所以 P(|1.96)P(1.961.96)P(1.96)P(1.96)12P(1.96)12P(1.96)120.0250.950.(2)由题意，可知正态曲线关于直线 x1 对称，所以 P(2)P(0)P(01)P(12)，又 P(01)P(12)0.2，所以 P(2)0.7.答案(1)C(2)0.7拓思维 提能力 启智培优T 特色专题感悟提高大题巧突破系列之(十二)离散型随机变量均值的综合应用【典例】(2014新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分
18、布直方图：(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其中 近似为样本平均数 x，2 近似为样本方差 s2.利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数利用的结果，求 E(X)附：15012.2.若 ZN(，2)，则 P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.【规范解答】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x和
19、样本方差 s2 分别为x 1700.02 1800.09 1900.22 2000.33 2100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而 P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6，依题意知 XB(100,0.682 6)，所以 E(X)1000.682 668.26.【名师点评】本题综合较强，将众多知识综合
20、在一起考查，特别是将正态分布与二项分布有机结合在一起，不失为一个新的突破点对应训练随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润(单位：万元)为.(1)求 的分布列；(2)求 1 件产品的平均利润(即 的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%.如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于4.73 万元，那么三等品率最多是多少？解(1)由于1件产品的利润为，则的所有可能取值为6,2,1，2，由题意知 P(6)1262000.63，P(2)502000.25，P(1)202000.1，P(2)42000.02.故 的分布列为6212P0.630.250.10.02(2)1 件产品的平均利润为 E()60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元)(3)设技术革新后三等品率为 x，则此时 1 件产品的平均利润为E()60.72(10.7x0.01)1x(2)0.014.76x.由 E()4.73，得 4.76x4.73，解得 x0.03，所以三等品率最多为 3%.