1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)概率(文)第七节 离散型随机变量及其分布列(理)基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用备考知考情1.古典概型以及互斥事件的概率是解决离散型随机变量及其分布列的基础，有时还会与期望、方差结合在一起考查2.多以解答题的形式出现，偶尔也会在选择题、填空题中出现.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知识梳理知识点一离散型随机变量分布列的概念如果随机试验的结果可以用一个来表示，那么这样的变量叫做随机
2、变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做.变量离散型随机变量知识点二离散型随机变量的分布列及性质1.一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量 X 的，简称为 X 的有时为了表达简单，也用等式表示 X的分布列概率分布列分布列P(Xxi)pi，i1,2，n2离散型随机变量的分布列的性质(1)pi0，i1,2，n；(2)i1npi1.知识点三常见的离散型随机变量的分布列 1.两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为X01P1pp，其中
3、 p称为成功概率P(X1)2超几何分布列：在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X 件次品数，则事件Xk发生的概率为：P(Xk)CkMCnkNMCnN(k0,1,2，m)，其中 m，且，则称分布列为超几何分布列X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnNminM，nnN，MN，n，M，NN*对点自测知识点一离散型随机变量分布列的概念1.以下关于离散型随机变量的说法正确的是()随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个；离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出；离散型随机变量的分布列中 pi0(i1,2，n)；离散型随机变量在某一范围内取
4、值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和A BC D解析 根据随机试验的条件可知正确离散型随机变量的所有取值可以一一列出，故错离散型随机变量的分布列中 pi0(i1,2,3，n)，故错由离散型随机变量的分布列的性质可知正确答案 C2袋中装有 10 个红球、5 个黑球每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是()AX4 BX5CX6 DX5解析 由条件知“放回 5 个红球”事件对应的 X 为 6.答案 C知识点二离散型随机变量的分布列及性质3.若离散型随机变量 X 的分布列为X01Pa2a22，则 P(
5、X1)_.解析 由a2a22 1，得 a2a20，解得 a1 或 a2(舍)答案 所以 P(x1)a22 12.4在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数 X 的分布列为_解析 X 的所有可能值为 0,1,2.P(X0)C11C11C12C1214，P(X1)C11C112C12C12 12，P(X2)C11C11C12C1214.X 的分布列为X012P141214答案 X012P141214知识点三常见的离散型随机变量的分布列5.判一判(1)如果随机变量 X 的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从二点分布
6、()(2)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服从超几何分布()答案(1)(2)6从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 X 个红球，随机变量 X 的概率分布为：X012Pabc则 a_，b_，c_.解析 P(X0)1C25 110；P(X1)C13C12C25 35；P(X2)C23C25310.答案 110 35 310研考点 知规律 通法悟道R 热点命题深度剖析问题探究问题 1 怎样正确理解随机变量？(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值
7、的变量，即存在统计规律性(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和问题 2 若 是随机变量，那么 ab(a，bR)是否是随机变量？(1)随机变量 的线性组合 ab(a，bR)是随机变量(2)求 ab 的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数问题 3 求离散型随机变量有哪些常见的方法？(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时
8、发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列高频考点考点一离散型随机变量的分布列的性质【例 1】设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1 的分布列；(2)|X1|的分布列听 课 记 录 由分布列的性质知：0.20.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X1 的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3【规律方法】利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值
9、，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数若 X 是随机变量，则 2X1，|X1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列变式思考 1(1)随机变量 的分布列如下：101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|1)_.(2)设随机变量 Y 的分布列为：Y123P14m14则事件“Y12”和“32Y72”的概率为_解析(1)2bac，又 abc1，b13，ac23.(2)14m141，m12.PY12 P(Y1)14，P32Y72 P(Y2)P(Y3)34.答案(1)23(2)14和34考点二求离散型随机变量的分布列【例 2】(2014江苏卷
10、)盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P.(2)从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1，x2，x3，随机变量 X 表示 x1，x2，x3中的最大数求 X 的概率分布和数学期望 E(X)听 课 记 录(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2个黄球或 2 个绿球，所以 PC24C23C22C2963136 518.(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4.X4表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”，故P(X4)C
11、44C49 1126；X3表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球，或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”，故 P(X3)C34C15C33C16C49206126 1363；于是 P(X2)1P(X3)P(X4)11363 11261114.所以随机变量 X 的概率分布如下表：X234P111413631126因此随机变量 X 的数学期望E(X)21114313634 1126209.【规律方法】求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i1,2,3，n)；(2)求出各取值的概率 P(Xxi)pi；(3)列成表格并用分布列的性质检
12、验所求的分布列或某事件的概率是否正确变式思考 2(2015温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出 2 个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为 X，求 X 的分布列解(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件 A，则 P(A)C12C16C28 37.(2)由题知 X 的可能取值为 1,2,3,4.则P(X1)C12C16C22C281328，P(X2)C26C14C12C22C28C26 928，P(X3)C26C24C12C12C22C28C26C2458，P(X4)C
13、26C24C22C28C26C24 128.X 的分布列为X1234P1328928528128考点三超几何分布【例 3】(2014天津卷)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4名女同学，在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望听 课 记 录(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P
14、(A)C13C27C03C37C3104960.所以，选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(Xk)Ck4C3k6C310(k0,1,2,3)所以，随机变量 X 的分布列是X0123P1612310130随机变量 X 的数学期望 E(X)0161122 3103 13065.【规律方法】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典
15、概型变式思考 3 PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准 GB30952012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区 2014 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值
16、监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 表示抽到 PM2.5监测数据超标的天数，求 的分布列解(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 A，则 P(A)C13C27C310 2140.(2)根据条件，服从超几何分布，其中 N10，M3，n3，的可能取值为 0,1,2,3，P(k)Ck3C3k7C310(k0,1,2,3)，其分布列为0123P72421407401120拓思维 提能力 启智培优T 特色专题感悟提高数学思想系列之(十三)分类讨论思想在分布列中的
17、应用【典例】在一个盒子中，放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x，y，记 X|x2|yx|.(1)求随机变量 X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率；(2)求随机变量 X 的分布列【规范解答】(1)x，y 可能的取值为 1,2,3，|x2|1，|yx|2，X3，且当 x1，y3 或 x3，y1 时，X3.因此，随机变量 X 的最大值为 3.有放回地抽两张卡片的所有情况有 339(种)P(X3)29，故随机变量 X 的最大值为 3，事件“X 取得最大值”的概率为29.(2)X 的所有取值为 0,1,2,3.X0 时，只有 x2，y
18、2 这一种情况，X1 时，有 x1，y1 或 x2，y1 或 x2，y3 或 x3，y3 四种情况，X2 时，有 x1，y2 或 x3，y2 两种情况P(X0)19，P(X1)49，P(X2)29.则随机变量 X 的分布列为X0123P19492929【名师点评】(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率(2)随机变量 X 的值是 x，y 的函数，所以要对 x，y 的取值进行分类讨论(3)分类不全面或计算错误是本题易错点对应训练设 X 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，X0；当两条棱平行时，X 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，X1，求随机变量 X 的分布列解 若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，所以共有 8C23对相交棱，因此 P(X0)8C23C212 411，若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对，故 P(X 2)6C212 111.于是 P(X1)1P(X0)P(X 2)1 411 111 611，所以随机变量 X 的分布列是X012P411611111